§1.5. Понятие о критериях подобия. Идеи, принципы [11,12].

При решении уравнения теплопроводности для конкретной задачи возникают значительные математические трудности .требующие использо вания специальных приемов,т.е.каждая даже простая задача уникальна. Упрощение решения теплотехнических задач искали в направлениях:

• использование теории подобия;

• введение новых комплексных обобщенных переменных.

Методы теории подобия

а)

Т«

позволяют перейти от обычных физических величин к без­размерным величинам комп — лексного типа.

Покажем идею введения некоторых таких новых вели — чин на примере охлаждения нагретой пластины в окру­жающей среде (рис.1.6а).

	б)	Г-
		1
		. 1
**1	То, 0	X
	•Тс, t	1 V—ж

АТ

Тт

Рис.1.6 К введению критериев Био (а) и Фурье (б).

Пусть теплообмен конвективный и идет по закону Ньютона:

а • (т" - 0)dF = -Х(ЭТ/Эх) • dF . (⁵-¹)

Левую часть уравнения можно привести к виду:

а(Т_пл-0) = а-АТ (5.2)

где ДТ — температурный напор.

Покажем, как можно преобразовать правую часть выражения

1. . Допустим, что ЭТ/Эх = const, тогда

-Х(ЭТ/Эх) = X ■ (8Т/1)

где: 5Т = Т^ - — температурный перепад.

Подставляя (5.2) и (5.3) в (5.1) получим:

а-Т=х(5Т/) или ⁼ (⁵-⁴)

Таким образом, соотношение между температурным перепадом 8Т и температурным напором АТ определяется безразмерным числом, составленным из характеристик пластины и пограничного слоя. Если градиент ЭТ/Эх - var , то можно допустить, что

u 1*1IIО I I* к л 12

Эх2 3xU*J 15

ан л 26

Al„ At, 39

A0 = S(X.Ff 74

,.6эр * А5 114

переменной.ВтебрНигюдоп тм«мич к|и периями

подобия и обозначают пн im >и»* у •»' А " *'М|И*'вния ^aj/^

принято наэишфе н/птп/чт him

u 1*1IIО I I* к л

к I

f

(5.8)

Число Био отвечает граничным условиям третьего рода и характеризует связь между полем температуры в твердом теле и условиями его теплоотдачи на поверхности в процессе конвекции. Еще одна трактовка числа Bi — отношение внутреннего (7/ А.) и внешнего (1/а) тепловых сопротивлений (§1.6). Критерий Био важен при изучении температурных полей в местах сопряжений крупнопанельных стен, конструкций.

Рассмотрим частные случае охлаждения пластины (стены), Формулу для числа Био можно представить в виде:

1. Если Bi << 1, то это означает, что 1/ а >> 1/ A, (Rb >> Rt). т.е. температурным перепадом 5Т можно пренебречь (Т = const) по сравнению с температурным напором АТ .

2. Если Bi = 1, то R = R

' В Т

3. Если Bi >> 1, то это значит, что 1/ а << 1/ X (R_b << R_t), температура поверхности тела примерно равна температуре окружающей среды, а температурный перепад 5Т много больше температурного напора AT ( ST >> АТ). Задача охлаждения пластины (стены) сводится к изучению распределения температуры по телу Т = Т(х) для заданного конкретного момента времени.

Задача охлаждения пластины, рассмотренная при введении критерия Био, решена не полностью, т.к. внутри пластины температурное поле нестационарно и будет иметь место его перестройка. Рассмотрение задачи перестройки температурного поля позволяет ввести еще один критерий критерий Фурье. Поясним идеи введения критерия и его физический смысл (рис.1.66).

Для одномерной задачи уравнение теплопроводности запишется

так:

эт ₌ эт

Эх Эх

Т = Т(х) (5.9)

Если перейти к задаче с условно постоянными производными то можно записать Т

Таким образом, если в какой-то момент времени рас­пределения температур в различных пластинах подобны, то это подобие будет сохраняться при условии совпадения для них выражения т а/7². Выражение x-a/i² — пример новой обобщенной безразмер­ной пере —менной. В теплотехнических расчетах это выражение называют критерием Фурье и обозначают F₀:

^ро=7^{1 р}о=^г (5.11)

Смысл критерия Фурье — обобщенное время, иногда его называют числом гомохронности (однородность во времени). Критерий Фурье дает правило сопоставления температурных полей по времени.

Параметр 1^г/а = х' может рассматриваться как характерный для конкретного явления масштаб времени.

Таким образом, соотношение между температурным перепадом 5 Т и температурным напором А Т при охлаждении пластины (стены) является функцией критериев Био и Фурье:

5Т/ДТ = f(B., F₀)

В теории и практике теплотехнических расчетов вводят и другие критерии подобия [13,14].

шкяшшшшшшшшшшшшяшттшшшяшяшшшшшшяшшшшшшшяшшшяшышшшшшкашявяшшишяшяшшшвягшяяшшшшшяшшяшшшгтшшшашштшшят