4. 3. Обчислення подвійних інтегралів в прямокутних координатах

Обчислення подвійного інтеграла в прямокутних координатах по заданій області зводиться до обчислення так званих повторних інтегралів шляхом проектування області на одну із осейабо.

Область на площиніназиваєтьсяпростою відносно осі , тобто проектується в деякий відрізокосітак, що всяка пряма паралельна осі, перетинає границю області у двох точках. (див. рис. 4).

Рис. 4.

Перехід до повторного інтеграла пояснимо на задачі обчислення маси неоднорідної області.

Нехай область обмежена двома лініямиі, які перетинаються в точкахі. Відрізокє проекцією областіна вісь. У кожній точціобластівизначена функція- густина розподілу маси. Знайти масу області.

Зафіксуємо точку , яка належить прямокутнику із настільки малими сторонамиі, що значення густинив точцімало змінюється в межах цього прямокутника, тому маса цього прямокутника приблизно дорівнює

.

Далі, розглянемо паралельну осі смужку шириною, яка містить згаданий прямокутник. Маса смужки буде дорівнювати

.

Щоб знайти масу всієї області , необхідно проінтегрувати останній вираз по змінній, тоді

. (1)

Порядок інтегрування можна змінити, якщо областьспроектувати на вісь(див. рис. 5), при цьому вважаємо, що областьправидьна відносно осі. Нехай відрізокбуде проекцією областіна, областьобмежена кривимиі, які задаються відповідно рівняннямиі.

Рис. 5.

Аналогічно попереднього випадку,

.

• маса елемента площею . Масу смужки паралельної осі, отримаємо інтегруванням по змінній:

.

Інтегруючи останній вираз по , отримаємо масу всієї області, тобто

. (2)

Перехід від повторного інтеграла, що в правій частині (1), до повторного інтеграла в (2) називається зміною порядка інтегрування. На практиці з двох порядків (двох формул (1) чи (2)) вибирають такий, який вимагає менших обчислень.

Приклади. Знайти інтеграли

1. .

Розв’язання.

.

2. , де областьD обмежена лініями ,. Обчислення здійснити в одному і другому порядках.

Розв’язання.

Побудуємо область D (Рис.6).

З рисунка видно, що , а.

Тому отримуємо:

Рис. 6.

.

Змінимо порядок інтегрування, спроектувавши область D на вісь :,.

Тоді

3. . З двох порядків інтегрування вибрати зручніший і обчислити.

Розв’язання Побудуємо границю області (див. рис. 7)

Рис. 7.

1. Спроектуємо область на вісь. Оскільки лініяскладається з двох ланок: дугиі відрізка, які перетинаються в точці, то областьрозбивається на дві:і.

Тоді

.

Отже, тут прийдеться обчислити два повторні інтеграли.

2. Спроектуємо область на вісь:. Тоді

.

За другим способом ми обчислювали тільки один повторний інтеграл.

З а д а ч і.

Обчислити повторні інтеграли.

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .

Відповіді: 1. . 2. . 3. . 4. . 5. .

Обчислити подвійні інтеграли по областях які обмежені заданими лініями.

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

Відповіді: 6. . 7.. 8.. 9.. 10.. 11..

4.4. Подвійні інтеграли в полярних координатах

У деяких випадках, коли підінтегральна функція містить виразчи, або область інтегрування є круг чи частина круга, подвійний інтеграл легше обчислювати, якщо від прямокутних координатіперейти до полярнихіза формулами

Тоді має місце рівність:

(1)

рис. 8.

Нехай промені і, які дотикаються границі областіу точкахі(див. рис. 8), утворюють з полярною віссю відповідно кутиі. Областьобмежена лініямиі, рівняння яких в полярних координатах відповідноі, тоді рівність (1) запишеться:

. (2)

Якщо ж полюс міститься внутрі області (рис. 9), то, а, де- рівняння границі області, тоді

. (3)

рис. 9.

Приклад. Обчислити подвійний інтеграл.

,

де область - півкруг:.

Розв’язання. Перейдемо до полярних координат:. Запишемо рівняння півкола,в полярних координатах:.

В півкрузі (див. рис. 10), тоді

рис. 10.

.

Задача. Обчислити інтеграли

1. ; -- І чверть круга.

2. ;- круговий сектор,,.

3. ;- кругове кільце,.

4. ;- півкруг,.

5. ;- круг.

6. ;- круговий сектор,,,.

Відповіді. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. .