10. Деякі задачі фізичного та геометричного змісту

Диференціальні рівняння мають велике значення для розвязування задач з різних галузей науки: астрології, хімії, механіки, геометрії, а особливо для розвязування задач з фізики.

За допомогою диференціальних рівнянь фізичні процеси описуються просто, повно, і набагато полегшують розвязування задач.

Вичерпних правил для складання диференціальних рівнянь немає.

В більшості випадків методика розвязування задач з використанням звичайних диференціальних рівнянь зводиться до слідуючого:

1. аналіз умови задачі і складання малюнку, який пояснює її суть;

2. складання диференціального рівняння розглядуваного процесу;

3. інтегрування цього рівняння і визначення його загального розвязку;

4. визначення часткового розвязку задачі на основі даних умов задачі;

5. визначення при необхідності деяких параметрів (наприклад, коефіцієнта пропорціональності і т.д.), з використанням для цієї мети додаткових умов задачі;

6. вивід загального закону розглянутого процесу і числове визначення шуканих величин;

7. аналіз відповіді й перевірка вихідного положення задачі.

Деякі з цих рекомендацій в залежності від характеру задачі можуть і не використовуватись.

П р и к л а д 21.Швидкість охолодження тіла пропорційна різниці між температурами тіла і середовища. При деяких розрахунках вважають, що коефіцієнт пропорціональності лінійно залежить від часу: k = k₀ (1 + t). Знайти залежність між температурою тіла  і часом t, якщо при t = 0  = ₀, а темпе-ратура оточуючого середовища ₁.

Ро з в я з о к. Диференціальне рівняння охолодження тіла

де kкоефіцієнт пропорціональності, який лінійно залежить від часу:

k =k₀ (1 + t).

Враховуючи це, одержимо:

Відокремлюючи змінні, одержимо:

Після потенціювання одержимо:

Враховуючи початкові умови: при t = 0,  = ₀, знайдемо постійну величину С:

₀ = ₁ + С, звідси С = ₀  ₁.

Таким чином, закон охолодження тіла:

Отстаточно

П р и к л а д 22.Точка масоюm рухається прямолінійно; на неї діє сила, пропорційна часу (коефіцієнт пропорціональностіk₁), починаючи з моменту, коли швидкість дорівнювалась нулю. Крім того, на точку діє сила опору середовища, пропорціональна швидкісті (коефіцієнт пропорціональностіk₂). Знайти залежність швидкості від часу.

Р о з в я з о к.. На матеріальну точку, що рухається прямолінійно, діють силиFпропорціонально часу:

F₁ = k₁ t,

F₂пропорціональна швидкості

F₂ =  k₂ v,

де знак мінус означає, що сила F₂ протидіє руху.

Результуюча ціх двох сил

F = F₁ + F₂, абоF=k₁ tk₂v.

За другим законом Ньютона

Звідси маємо диференціальне рівняння руху:

Розвязуємо одержане лінійне рівняння. Нехайv = uw, v =uw + uw,тоді

Зрівняння (1) маємо

З рівняння (2) маємо

Отже,

Використовуючи початкові умовиv = 0при t = 0, знайдемо значення постійної С:

Таким чином, залежність швидкості руху матеріальної точки від часу

П р и к л а д 23.Сталева проволока довжиноюl₀з поперечним перерізомFрозтягується з силою, яка поступово зростає до величиниР. Знайти роботу розтягування.

Р о з в я з о к.. Видовження проволокиlпід впливом розтягуючої сили визначається за формулою

деkкоефіцієнт видовження,l₀початкова довжина проволоки.

Розглянемо елементарний процес:

Приймаючи на нескінченно малій частині видовженняdlсилуРпостійною, одержимо роботу, яка виконується цією силою на розглядуваній частині

Інтегруючи останнє рівняння, одержимо загальний розвязок

Для визначення С використовуємо початкові дані, приР= 0,w = 0, отже

Отже, шукана робота розтягування

П р и к л а д 24.Ланцюг, що звисає на гачку, починає сповзати в момент часу, коли один кінець його має довжину 12 м, а другий 8 м. За який час ланцюг сповзе повністю?

Р о з в я з о к.. Позначимо черезx(t)довжину довшого кінця ланцюга в момент часуt, тоді 20х(1)довжина коротшого кінця, а їх маси відповідно дорівнюватимутьm₁ = x, m₂ =(20x), дегустина матеріалу, з якого зроблено ланцюг. Рух відбувається за рахунок двох силF₁ = m₁g і F₂ = m₂g. Тоді за законом Ньютона рівняння руху ланцюга має вигляд:

mx = m₁g  m₂g,

де m= 20маса всього ланцюга, ах(f)прискорення руху в момент часуt.

Підставимо в рівняння руху знайдені величини (нехай g= 10 м/с². Тоді маємо:

20х=х10(20х)10, абохх=10.

Це неоднорідне рівняння з правою частиною f(x) =10.

Його характеристичне рівняння k²  1 = 0 має кореніk₁ = 1, k₂ = 1.Загальний розвязок однорідного рівняння будех_одн.= С₁e^t + C₂e^t, а частиннийх_част.знаходимо якх_част.= А. Тодіх_част.=х_част.= 0 іА =10, звідси А = 10.

Отже, загальним розвязком рівняння руху є

x(t) = C₁e^t + C₂e^t + 10

З умови задачі визначаємо початкові умови, а саме: х(0) = 12 (довжина довшого кінця) іх(0) = 0, бо ланцюг знаходився у стані спокою до цього моменту.

Підставляючи першу умову в загальний розвязок, маємо:

С₁+ С₂= 2

Знайдемо x(t): x(t) = C₁e^t  C₂e^t , підставляючи сюди другу умову, дістаємо:

С₁С₂= 0

ічастинний розвязок рівняння має вигляд:

x(t) = e^t + e^t + 10.

Ланцюг повністю впаде, колиx(t) = 20. Тоді маємо:

Звідси визначимо часt. Нехай e^t = z. Тоді

Лише перший корінь задовольняє умову задачі. Отже, e^t = 5 + 2 i t = ln(5 + 2) 2,292, тобто ланцюг упаде приблизно через 2,3 с.

П р и к л а д 25.Довести, що кривау = f(x) є параболоюу= Сх²тоді і тільки тоді, коли вона має таку властивість: якщо через будь-яку точку кривої провести прямі, паралельні осям координат до перетину з ними, то крива поділить утворений прямокутник на дві фігури, площі яких відносяться як 1:2, рахуючи від осіОХ.

Ро з в я з о к.. Позначимо черезS₁ площу фигури, що прилягає до осіОХ. Тоді

(тут хабсциса довільної точки М(х; у) кривоїу = f(x)). Тоді площа другої фігури

S₂=xy S₁

Так як за умовою S₂ = 2S₁, то 3S₁ = ху, або

Продиференцюємо цю рівність за змінноюх:

3у = у + ху, або ху, або ху = 2у.

Одержали рівняння з відокремлюваними змінними. Маємо

Пр и к л а д 26.Знайти криву, що проходить через точку (0;2), щоб кутовий коефіцієнт дотичної в довільній її точці дорівнював ординаті цієї точки, збільшеній на 3.

Р о з в я з о к.. Складемо диференціальне рівняння за умовою задачі. Оскільки кутовий коєфіцієнт дотичної до кривоїy = f(x)в точці (х, у) дорівнюєу, то за умовою

у = у+ 3.

Одержали рівняння з відокремлюваними змінними. Його загальний розвязок

Враховуючи початкові умови, дістаємо ln1 = 0 +C, звідси С = 0 і

ln|y+3| = x, абоу = е^х 3.

32