3.8. Границя дробово раціональної функції при х
Розглянемо спочатку наступний приклад
= ( добуток н.в. на обмежену є н.в.) = .
З
даного прикладу можна зробити висновок,
що у випадку многочлена із степенями
різних знаків при
може бути невизначеність
.
Щоб її розкрити необхідно винести
старший степінь за дужки. Враховуючи
цей висновок, розглянемо границю дробово
раціональної функції (див. 1.9) при
.
В кожній з дужок обмежені величини. Можливі три випадки:
,
тоді степені скорочуються і границя
дорівнює відношенню коефіцієнтів при
старших степенях
;
,
тоді після скорочення в чисельнику
залишиться
,
тому границя дорівнює ;
,
тоді після скорочення в знаменнику
залишиться
,
а обернена до неї
при
,
в границі отримаємо
.
Отже
(1)
Приклади для самостійного розв’язання
Знайти границі.
1.
. 2.
. 3.
.
4.
. 5.
. 6.
.
7.
. 8.
. 9.
.
10.
. 11.
.
12.
. 13.
. 14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
. 20.
.
21.
. 22.
. 23.
.
24.
. 25.
.
26.
. 27.
.
28.
. 29.
.
30.
. 31.
.
32.
. 33.
.
34.
.
Відповіді.
1. 3.
2. 1.
3. 0.
4. -6.
5. 1/4.
6.
-3.
7.3/2.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.2/3.
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.1/2.
28.
.
29.
.
30.-3.
31.
.
32.
.
33.
.
34.
.
3.9. Перша важлива границя
Першою важливою називається границя
(1)
Для доведення (1) будемо виходити із геометричних міркувань (див. рис. 24)
Рис.
24
Оскільки
,
то вважаємо, що кут 2
–гострий
центральний кут в колі радіуса
.
Довжина хорди
очевидно менша довжини дуги
,
а дуга
очевидно менша довжини ламаної
,
тобто
Із
.
Довжина дуги
.
Із
довжина дотичної
.
Отже, нерівність запишеться
За теоремою 1 із 2.5 про границю нерівностей маємо
що рівносильно (1).
На основі (1) отримаємо ще кілька необхідних формул.
.
(2)
заміна
.
Якщо
то
(3)
Аналогічно
(4)
(5)
Приклади.
Заміна
=
Приклади для самостійного розв’язання
Знайти границі
1.
. 2.
. 3.
.
4.
. 5.
. 6.
.
7.
. 8.
. 9.
.
10.
. 11.
. 12.
.
13.
. 14.
. 15.
.
16.
. 17.
.
18.
. 19.
.
20.
.
Відповіді.
1.
.2.
.3.
.4.
.5.
.6.
.7.
.8.
.
9.
.10.
.11.
.12.
.13.
.14.
.15.
.16.
.
17.
.18.
.19.
.20.
.
3.10. Натуральні логарифми. Границя, пов’язана з натуральним логарифмом
Розглянемо
функцію
при
.
Її область визначення:
.
Оскільки
,
то функція зростає. При
,
графік проходить через початок координат
(див. рис. 25)
Нехай
довільна точка графіка. Пряму
,
що перетинає графік в двох точках
і
,
називають січною.
Січна
утворює з віссю
кут
.
Припустимо,
що точка
по кривій наближається до точки
,
тобто
.
Січна
при цьому буде повертатись навколо
точки
,
кут
буде змінюватись. Точка
на кривій може вибиратись як справа,
так і зліва відносно точки
.
Означення.
Граничне положення січної
,
що проходить через точку
,
при умові що точка
кривої прямує до точки
називається дотичною
до кривої
в точці
.
Позначимо
через
кут
нахилу дотичної, тоді згідно означення
маємо
або
(1)
Тепер
звернемо увагу на положення графіка
в залежності від основи
.
Для прикладу розглянемо функції
При
маємо
Схематично положення кривих
зображено на рис. 26
Рис.26
В
точці
проведені відповідні дотичні: I, ІІ, ІІІ.
Із рис. 26 зрозуміло, що при збільшені
основи
кут нахилу дотичної до
зменшується, а при зменшені
до
цей кут збільшується. Очевидно, що можна
підібрати основу
такою, щоб дотична до
,
що проходить через точку
,
утворювала з віссю
кут в
,
тобто, щоб дотичною стала бісектриса
.
Можна
довести, що значення шуканої основи
дорівнює ірраціональному числу
яке прийнято позначати буквою
.
Більш точно
.
Число
було введено Л. Ейлером1.
Логарифми
за основою
називаються натуральними,
замість
пишуть
.
За формулою переходу до нової основи
маємо зв’язок між десятковими та натуральними логарифмами
або
Має місце формула
(2)
Дамо геометричне пояснення формули (2).
Згідно
рис. 27 із
маємо
кутовий
коефіцієнт січної, але
,
тому
Якщо
,
то кут нахилу січної
зростає до значення кута нахилу дотичної
,
тому у відповідності із співвідношенням
(1)
Звідки отримуємо (2).