bludova_t_v_praktikum_z_vishoi_matematiki

1

Візьмемо x3 1, тоді x1 1, x 2 1, X 2 1 .

1

3. 3 6 Маємо рівняння:

Знову шукаємо розв’язок системи в табличній формі:

x 2 2x3, x1 x3.

Ранг матриці

Розглянемо матрицю порядку m n . Виберемо в ній довільним чином k рядків та k стовпців. На їх перетині дістанемо визначник k-го порядку, який називається мінором k-го порядку даної матриці.

178

Рангом матриці називається найвищий порядок її мінора, відмінного від нуля.

Існує два методи обчислення рангу матриці. 1. Метод обвідних мінорів.

Якщо знайдений мінор k-го порядку матриці відмінний від нуля, а всі її мінори k 1-го порядку, які містять даний мінор k-го порядку, дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює k .

2. Метод елементарних перетворень. Такими називають перетворення матриці:

1)переставлення рядків або стовпців матриці;

2)множення всіх елементів рядка або стовпця на відмінне від нуля число;

3)додавання до елементів деякого рядка або стовпця відповідних елементів іншого рядка або стовпця, помножених на відмінне від нуля число.

Елементарні перетворення не змінюють рангу матриці. За їх допомогою матрицю зводять до вигляду, коли в кожному рядку та кожному стовпці залишається не більш як одне відмінне від нуля число. Тоді ранг матриці дорівнює кількості відмінних від нуля елементів.

Задача 1.6. 1. Знайти ранг матриці

Обчислимо його обвідні мінори третього порядку:

Таким чином, знайдено мінор другого порядку, відмінний від нуля, а всі його обвідні мінори третього порядку дорівнюють нулю. Тому ранг матриці дорівнює двом.

Поміняємо місцями перший і четвертий рядки та перший і третій стовпці. Дістанемо еквівалентну матрицю

Помножимо елементи першого рядка на 2 та додамо до відповідних елементів другого рядка. Помножимо елементи першого рядка на 3 та додамо до відповідних елементів третього рядка. Помножимо елементи першого рядка на –3 та додамо до відповідних елементів четвертого рядка.

180

Помножимо елементи першого стовпця на 2 та додамо до відповідних елементів другого стовпця. Помножимо елементи першого стовпця на – 2 та додамо до відповідних елементів третього стовпця. Помножимо елементи першого стовпця на – 7 та додамо

до відповідних елементів четвертого стовпця. Дістанемо еквівалентну матрицю

Помножимо елементи другого рядка на 2 та додамо до відповідних елементів третього рядка. Помножимо елементи другого рядка на –2 та додамо до відповідних елементів четвертого рядка.

Поділимо елементи другого стовпця на 2. Утворений стовпець додамо до третього стовпця, потім помножимо його на 9 і додамо до четвертого стовпця.

Ранг цієї матриці дорівнює 2.

181

Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду

Квадратичною формою від п змінних називається вираз

ми можна скласти симетричну матрицю A aij , яка назива-

ється матрицею квадратичної форми.

Кожну квадратичну форму в результаті певного перетворення координат можна звести до канонічного вигляду 1 y12 2 y22

n yn2 , при цьому 1 , 2 , , n називаються канонічними

коефіцієнтами квадратичної форми.

До канонічного вигляду квадратичну форму можна звести такими способами:

1. Метод Лагранжа.

Якщо a11 0 , групуємо доданки, що містять x 1 , та виділяємо повний квадрат. Потім групуємо доданки, що містять x 2 , та

виділяємо повний квадрат і т. д. 2. Метод Якобі.

Головними мінорами матриці квадратичної форми називаються мінори різних порядків, розташовані в її лівому верхньому куті:

Якщо всі головні мінори матриці квадратичної форми відмінні від нуля, то канонічні коефіцієнти квадратичної форми знаходять за формулами:

3. Канонічні коефіцієнти квадратичної форми дорівнюють власним числам матриці квадратичної форми.

Задача 1.7. Звести квадратичну форму 3x12 4x 22 5x 32 + 4x1x2 4x2 x3 до канонічного вигляду.

1. За методом Лагранжа:

182

3x12 4x 22 5x 32 4x1x 2 4x 2 x 3 3 x12 43 x1x 2 4x 22

5x 32 4x 2 x 3 3 x1 23 x 2 2 83 x 22 4x 2 x 3 5x 32

2. За методом Якобі: