int_kurs-podg_-ege_kasatkina-i_l_2012
.pdf
Физика для старшеклассников и абитуриентов
сократится, когда будем выражать сопротивление проволоки R через ее удельное сопротивление и длину. По формуле со-
противления |
l |
|
|
|
R = ρ |
. |
(3) |
||
|
||||
c S |
|
|||
Теперь подставим правые части равенств (2) и (3) в выражение (1):
.
Задача в общем виде решена. Подставим числа и вычислим:
2 2
t = 125 · 11,3 · 103 · 1,7 · 10–6 (327 – 20) 25 с = 4,7 с. Ответ: t = 4,7 с.
В28. В чайнике нагрели воду объемом 0,32 л при 30 0С и поставили на электроплитку. Через сколько времени выкипит вся вода, если сила тока в цепи 10 А, а сопротивление нагревателя 20 Ом? Удельная теплоемкость воды 4200 Дж/(кг · К), удельная теплота парообразования воды 2256 кДж/кг.
Обозначим V объем воды в чайнике, t1 — начальную температуру воды, t2 — температуру кипения воды, U — плотность воды, I — силу тока в цепи, R — сопротивление нагревателя, с — удельную теплоемкость воды, r — удельную теплоту парообразования, Q — количество теплоты, пошедшее на нагревание воды и превращение ее в пар, t — время нагревания и превращения воды в пар, m — массу воды в чайнике.
Дано:
V = 0,32 л
t1 = 30 0С t2 = 100 0С
I = 10 А
R = 20 Ом
с = 4200 Дж/(кг · К) r = 2256 кДж/кг
U = 1000 кг/м3
t — ?
Решение
По закону Джоуля — Ленца количество теплоты, выделенное в нагревателе при прохождении по нему электрического тока,
Q = I2R t. |
(1) |
Это тепло пошло на нагревание воды и превращение ее в пар:
Q = cm(t2 – t1) + mr = = m(c(t2 – t1) + r).
Выразим массу воды через плотность и объем:
m = UV.
450
Раздел III. Электромагнетизм
С учетом этого предыдущее равенство примет вид:
Q = UV (c(t2 – t1) + r). |
(2) |
Теперь приравняем правые части равенств (1) и (2) и из полученного выражения найдем время t:
|
|
I2R t = UV (c(t2 – t1) + r), |
|
|
|
||||||
откуда |
t = |
ρV (c (t2 − t1 ) + r) |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
I2R |
|
|
|
|
|
|
Произведем вычисления: |
) |
|
|
|
) |
||||||
1000 0,32 10−3 |
( |
( |
+ 2256 |
103 |
|||||||
|
4200 100 − 30 |
|
|
|
|||||||
t = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с = 408 с. |
|
|
|
|
102 20 |
|
|
|
|
|
||
Ответ: t = 408 с.
В29. Лифт массой 2,4 т поднимается на высоту 25 м за 40 с. КПД подъема 60%. Найти силу тока в электродвигателе лифта, если он работает под напряжением 220 В. Ответ округлить до целого числа ампер.
Обозначим m массу лифта, h — высоту подъема, t — время подъема, K— КПД подъема, U — напряжение в цепи, I — силу тока, Wp — потенциальную энергию поднятого лифта, А — работу тока, g — ускорение свободного падения.
Дано: m = 2,4 т h = 25 м t = 40 с K = 60%
U = 220 В g = 10 м/с2
I — ?
Решение
КПД подъема лифта равно отношению его потенциальной энергии на высоте к работе электрического тока, выраженному в процентах:
K = |
Wp |
100%. |
(1) |
|
|||
|
A |
|
|
Потенциальная энергия лифта |
|
||
Wp = mgh. |
(2) |
||
Работа тока в двигателе
А = UIt. |
(3) |
Подставим правые части равенств (2) и (3) в формулу (1) и из полученного выражения найдем cилу тока в двигателе:
K = mgh 100%,
UIt
451
Физика для старшеклассников и абитуриентов
откуда
I = mgh 100%.
Uηt
Произведем вычисления:
I = 2, 4 103 10 25 100 А = 114 А. 220 60 40
Ответ: I = 114 А.
В30. Сколько электронов проходит за 10 с через поперечное сечение проводника при мощности тока в нем 150 Вт и напряжении 220 В? Ответ представьте как произведение целого числа на 1019.
Обозначим N количество электронов, е — модуль заряда электрона, q — заряд, прошедший через поперечное сечение проводника, t — время его прохождения, Р — мощность тока, U — напряжение, I — силу тока.
Дано: |
|
Решение |
|
|||
|
|
|||||
t = 10 с |
|
Выразим мощность тока через напря- |
||||
Р = 150 Вт |
|
жение и силу тока: |
|
|||
U = 220 В |
|
Р = UI. |
(1) |
|||
е = 1,6 · 10–19 |
Кл |
|||||
Теперь силу тока выразим через заряд |
||||||
|
|
|||||
N — ? |
|
|||||
|
и время его прохождения: |
|
||||
|
|
I = |
q |
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
t |
|
||
Заряд выразим через число электронов и модуль заряда электрона: q = Ne.
С учетом этого, |
|
|
I = |
Ne |
. |
(2) |
||
|
||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
Подставим правую часть равенства (2) в формулу (1): |
||||||||
Р = U |
Ne |
, откуда |
N = |
Ðt |
. |
|||
|
|
t |
Ue |
|||||
Произведем вычисления: |
|
|
|
|||||
N = |
|
|
150 10 |
= 4 · 1019. |
|
|||
|
220 1,6 10−19 |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
Ответ: N = 4 · 1019.
452
Раздел III. Электромагнетизм
В31. Трамвай массой m движется по горизонтальному пути со скоростью v. Коэффициент сопротивления движению μ, напряжение на проводах U, КПД электрической цепи K. Найти силу тока в двигателе.
Обозначим I силу тока в двигателе, t — время движения, S — пройденный путь, А1 — работу силы тяги, Fтяги — силу тяги, Fтр — силу трения, g — ускорение свободного падения, А2 — работу тока в двигателе.
Дано: Решение
mКПД электрической цепи равен отношению
vработы силы тяги к работе тока в двигателе:
μ |
|
|
|
η = |
À1 |
, |
U |
|
|
|
|
||
|
|
|
À2 |
|
||
K |
|
где |
А1 = FтягиS |
и |
S = vt. |
|
|
|
|||||
I — ? |
При равномерном движении |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
Fтяги = Fтр = μmg. |
|||
|
С учетом этих равенств |
|
|
|
||
А1 = μmgvt.
Работа тока
А2 = UIt.
Подставим правые части двух последних равенств в первую формулу:
,
Откуда |
I = |
mg |
. |
|
|||
|
|
Uη |
|
Ответ: I = 
mg
.
Uη
В32. Включенная в сеть электрическая плитка выделила количество теплоты Q. Определить, какое количество теплоты выделят за такое же время две такие плитки, если их включить в ту же сеть последовательно и параллельно. Зависимость сопротивления от температуры можно не учитывать.
Обозначим U напряжение в сети, R — сопротивление плитки, Q — количество теплоты, выделенное одной плиткой, Q1 — количество теплоты, выделенное обеими плитками при
453
Физика для старшеклассников и абитуриентов
их последовательном соединении, Q2 — количество теплоты, выделенное обеими плитками при их параллельном соединении, t — время нагревания.
Дано: Решение
QПо закону Джоуля — Ленца количество те-
Q1 — ? |
плоты, выделяемое одной плиткой, равно: |
|||
|
U2 |
|
||
Q1 — ? |
Q = |
t. |
||
|
||||
R
При последовательном соединении двух одинаковых плиток их общее сопротивление станет вдвое больше сопротивления каждой из них, поэтому закон Джоуля — Ленца примет вид:
Q1 = U2 2 t.
R
Из первой формулы выразим сопротивление R и подставим его во вторую:
R = |
U2 |
t, тогда Q1 = |
|
|
|
|
. |
|
Q |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При параллельном соединении двух одинаковых плиток их общее сопротивление станет вдвое меньше сопротивления каждой из них. При этом закон Джоуля — Ленца примет вид:
Q2 = 
.
Сравнивая это выражение с первой формулой, мы сразу видим, что при таком соединении тепла выделится больше, чем при включении одной плитки:
Q2 = 2 Q.
Q
Ответ: Q1 = 2 , Q2 = 2Q1.
В33. На рис. 240 изображена электрическая цепь, состоящая из двух гальванических элементов с ЭДС 4,5 В и 1,5 В и внутренними сопротивлениями 1,5 Ом и 0,5 Ом и лампы, сопротивление которой в нагретом состоянии 23 Ом. Определить мощность, потребляемую этой лампой.
454
Раздел III. Электромагнетизм
Обозначим 
1 и 
2 ЭДС первого и второго гальванических элементов, r1 и r2 — их внутренние сопротивления, R — сопротивление лампы, Р — мощность тока, потребляемую лампой, I — силу тока в цепи,
— полную ЭДС цепи.
Дано:
1 = 4,5 В
2 = 1,5 В r1 = 1,5 Ом
r2 = 0,5 Ом R = 23 Ом
P — ?
Решение
Мощность тока, потребляемую лампой, определим как произведение квадрата силы тока в цепи и сопротивления лампы:
Р = I2 R.
Силу тока найдем по закону Ома для всей
последовательной цепи:
ε
I = R + r1 + r2 .
Здесь
— полная ЭДС цепи, равная алгебраической сумме ЭДС отдельных источников. Выбрав положительным направление обхода цепи по часовой стрелке, придем к выводу, что 
2 отрицательна, поэтому
= |
1 – 2. |
||
С учетом этого |
ε1 − ε2 |
|
|
I = |
|
. |
|
R + r1 + r2
Подставив правую часть этого выражения в первую формулу, мы решим задачу в общем виде:
|
ε1 − ε2 |
2 |
P = |
|
R. |
R + r1 + r2 |
||
|
|
|
Произведем вычисления:
Р = 
Вт | 0,33 Вт.
Ответ: Р | 0,33 Вт.
В34. Мощность, потребляемая алюминиевой обмоткой электромагнита при 0 0С, равна 5 кВт. Какой станет мощность тока в обмотке, если температура повысится до 60 0С, а напряжение останется прежним? Какой станет мощность, если прежним останется ток?
455
Физика для старшеклассников и абитуриентов
Обозначим Р1 мощность тока в обмотке при температуре t0 = 0 0С, Р2 — мощность тока при температуре t = 60 0С, R0 — сопротивление обмотки при 0 0С, R — сопротивление при 60 0С, U — напряжение на обмотке, I — силу тока в ней, D — температурный коэффициент сопротивления.
Дано: t0 = 0 0С
P0 = 5 кВт t = 60 0С
D = 4,2 10–3 К–1
P — ?
Решение
1. При неизменном напряжении мощность тока при температурах t0 и t можно определить по формуле
P0 |
= |
U2 |
(1) |
и P = |
U2 |
. |
|
|
|
||||||
R0 |
|||||||
|
|
|
|
R |
|||
Зависимость сопротивления от температуры выражает формула
R = R0 (1 + Dt).
Подставим это выражение в предыдущую формулу:
Р = |
U2 |
|
R0(1 + αt) . |
(2) |
Теперь разделим (1) на (2). При этом неизвестное напряжение сократится и из получившейся пропорции найдем искомую мощность Р.
|
P0 |
= |
U2R0 (1 + αt) |
, |
|
|
Ð0 |
= 1 + αt, |
|
|
P |
R U2 |
Ð |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
P0 |
|
|
|
|
|
|
|
P = |
|
|
. |
|||
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
+ αt |
|||||
Произведем вычисления:
5
Р = 1 + 4,2 10−3 60 кВт | 4 кВт.
2. Если же будет оставаться неизменным ток, то мощность можно будет определять по формулам:
Р0 = I2 R0 и P = I2 R = I2 R0(1 + at).
Разделив эти равенства друг на друга, получим:
P |
= |
I2R |
P |
= |
1 |
, |
||||
P |
I2R0 |
(1 |
+ αt), |
P |
1 + αt |
|||||
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
456
Раздел III. Электромагнетизм
откуда
P = P0 (1 + Dt). Произведем вычисления:
Р = 5 (1 + 4,2 10–3 60) кВт | 6 кВт.
Ответ: 1. Р = 4 кВт. 2. Р = 6 кВт.
В35. Электрическая цепь содержит реостат, сопротивление которого можно изменять от 0,1 Ом до 1 Ом. ЭДС источника тока 72 В. При каком сопротивлении реостата максимальная мощность тока в цепи будет 6 Вт?
Обозначим R1 минимальное сопротивление реостата, R2 — его максимальное сопротивление, 
— ЭДС источника тока, r — его внутреннее сопротивление, Р — мощность тока.
Дано: |
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= 72 В |
|
Мощность тока в цепи максимальна, когда |
||||||||||||||
R1 = 0,1 Ом |
|
внешнее сопротивление R равно внутреннему |
||||||||||||||
R2 = 1 Ом |
|
сопротивлению r. По формуле мощности тока |
||||||||||||||
Р = 6 Вт |
|
Р = I2 R, где по закону Ома для всей цепи |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = |
ε |
|
|
|
|||
r — ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R + r |
|
|||||||
|
|
С учетом этого |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
ε |
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
Р = |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
R |
+ r |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поскольку при максимальной мощности тока R = r, то |
||||||||||||||||
|
|
|
ε |
|
2 |
|
|
ε2 |
ε2 |
|||||||
|
|
Р = |
|
|
R = |
|
|
|
R = |
|
, |
|||||
|
R + |
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
R |
|
|
4R |
4R |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ε2 |
|
|
|
|
|
|
|||
откуда |
|
|
|
|
R = |
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4P |
|
|
|
|||||
Произведем вычисления:
722
R = 4 36 Ом = 36 Ом.
Ответ: R = 36 Ом.
В36. Три одинаковых источника постоянного тока с внутренним сопротивлением у каждого 0,8 Ом соединены последовательно. Во сколько раз изменится мощность тока в резисторе
457
Физика для старшеклассников и абитуриентов
сопротивлением 10 Ом, подключенном к этим источникам, если их соединить параллельно?
ОбозначимN количествоисточниковтока,r — внутреннеесопротивление каждого источника, R — сопротивление резистора, Р1 — мощность тока в резисторе при последовательном соединении источников, Р2 — мощность тока в резисторе при параллельном соединении источников,
— ЭДС каждого источника тока.
Дано:
N = 3
r = 0,8 Ом R = 10 Ом
Ð2 — ?
Ð1
Решение
При последовательном соединении источ-
ников сила тока в цепи
Nε
I1 = R + Nr .
При этом мощность тока в резисторе
Р1 |
= I12R = |
Nε |
|
2 R. |
(1) |
|
|||||
|
|
R + rN |
|
|
|
При параллельном соединении источников
I2 = |
ε |
|
. |
|
R + |
r |
|||
|
|
|||
N |
|
|||
|
|
|
При этом мощность тока в резисторе
Р |
= I 2R = |
|
ε |
|
|
2R. |
(2) |
|
|
|
|||||
2 |
2 |
|
|
r |
|
||
|
|
R + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
N |
|
||
Теперь разделим равенство (2) на равенство (1):
Ð2 |
= |
|
ε2(R+Nr)2 |
= |
(R + Nr)2 |
|
= |
|||||||
Ð1 |
|
|
r 2 |
2 |
2 |
(NR + r)2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
R + |
|
|
|
N |
ε |
|
N |
2 |
N |
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
R + Nr 2 |
|
10 + 3 0,8 2 |
|
|
|
|||||||
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
= 0,16 |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
NR + r |
3 10 |
+ 0,8 |
|
|
|
||||||
или Ð1 = 6,25, т.е. мощность уменьшится в 6,25 раза.
Ð2
Ответ: мощность уменьшится в 6,25 раза.
В37. Напряжение на электродах при электролизе алюминия в 10 раз больше, чем при электролизе меди. Во сколько раз энергия при электролизе алюминия больше, чем при электролизе
458
Раздел III. Электромагнетизм
меди той же массы? Электрохимический эквивалент меди 0,33 мг/Кл, алюминия 0,093 мг/Кл. Ванны, в которых происходит электролиз, соединены последовательно. Ответ округлить до целого числа.
Обозначим U1 напряжение при электролизе алюминия, U2 — напряжение при электролизе меди, W1 — энергия при электролизе алюминия, W2 — энергия при электролизе меди, k1 — электрохимический эквивалент алюминия, k2 — электрохимический эквивалент меди, I — силу тока в ваннах, t1 — время электролиза алюминия, t2 — время электролиза меди, m — массу выделенного на электроде металла.
Дано: |
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
U1 = 10U2 |
|
|
Энергия при электролизе алюминия |
||||||||||||||||||||||
k1 = 0,093 мг/Кл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W1 = U1I t1. |
|
|
|
||||||||||
k2 = 0,33 мг/Кл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Согласно закону Фарадея для электро- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
W |
|
лиза m = k1I t1, откуда |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
— ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
W2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
It1 = |
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
С учетом этого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
W1 |
= U1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Аналогично, применительно к меди, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
W2 = U2 |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Отношение энергий |
W1 |
|
= |
|
U1mk2 |
|
= |
|
U1k2 |
= 10U2k2 |
= 10 |
k2 |
. |
|||||||||||
|
U2mk1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
W2 |
|
|
U2k1 |
U2k1 |
|
k1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
W1 |
0,33 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Произведем вычисления: |
|
= 10 |
|
|
= 35. |
|
|
|
||||||||||||||||
W |
0,093 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: W1 = 35.
W2
В38. При электролизе меди сопротивление электролита 1 мОм, напряжение на электродах 8 В. Через сколько времени на катоде выделится 1 кг меди? Электрохимический эквивалент меди 0,33 мг/Кл. Ответ округлить до целого числа минут.
Обозначим R сопротивление электролита, U — напряжение при электролизе, t — время электролиза, m — массу выделен-
459