Деякі визначення з теорії ймовірностей

Багато методик недостовірного логічного виведення тісно по­в'язано з апаратом теорії ймовірностей. Тому для розуміння цього розділу потрібно навести основні необхідні факти з теорії ймовірностей.

Ймовірність події А (позначається Р(А)) слід розуміти як міру досто­вірності деякої події. Завжди виконується властивість 0<Р(А)<1. При цьомунеможлива подія (подія, яка ніколи не може відбутися) має ймо­вірність 0, адостовірна подія –ймовірність 1. Дамо формалізованевизначення.

Розглянемо множину елементарних наслідків Q. Елементарні наслід­ки розглядаються як можливі наслідки деякого експерименту, при цьому ці наслідки вважаютьсярівноможливими та взаємовиключними. Тоді будь-яка подіяА розглядається як підмножина множини елементарних на­слідків. ПодіяА відбувається, якщо має місце будь-який елементарний на­слідок, що входить до множиниА. Якщо елементарний наслідок входить до множиниА, кажуть, що він єсприятливим для подіїА.

Ймовірність події А визначається як відношення кількості сприятливих наслідків до загальної кількості елементарних наслідків.

На основі даного визначення в ряді випадків можна безпосередньо роз­рахувати ймовірності. Наведемо кілька прикладів.

Приклад. Підкидається гральний кубик, на кожній грані якого міс­титься певна кількість очок від 1 до 6. Яка ймовірність того, що випаде парна кількість очок?

Оскільки в результаті експерименту може випасти будь-яка кількість очок від 1 до 6, множина елементарних наслідків Q= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Сприятливими для події А є наслідки 2, 4, 6, отже,А = {2, 4, 6}.

Маємо Р (А) = 3/6 = 0.5.

Приклад. Підкидаються два гральних кубики. Яка ймовірність то­го, що сума очок, які випадуть на обох гранях, дорівнюватиме 5?

Експеримент полягає в підкиданні двох кубиків, і елементарний наслі­док є парою, кожний елемент якої задає кількість очок, що випала на від­повідному кубику. Таким чином,

Q= {11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, ..., 61, 62, 63, 65, 66},кількість елементарних наслідків дорівнює 36.

А= {14, 41,23, 32}.

Тоді Р (А) = 4/36 = 1/9=0.11.

Подією, протилежною до подіїА (позначаєтьсяА), називається та, яка полягає в тому, що подіяА не відбувається. На основі класичного визна­чення ймовірностей легко переконатися в тому, що

Р(А) = 1– Р (А)

Ймовірність події, по суті, є частотою появи цієї події. Це підкреслю­ється в такому визначенні.

Частотне визначення ймовірності. Нехай проводиться серія одно­типних експериментів і нехайК_А(n) –кількість випадків, в яких відбулася подіяА, якщо було проведеноn експериментів. Тоді

.

Наприклад, якщо проводиться 1000 експериментів, а ймовірність події А дорівнює 0.3, то подіяА настане приблизно в 300 випадках. При цьому зі зростанням кількості експериментів частина випадків, в яких відбувається дана подія, все більше наближається до ймовірності.

Введемо такі позначення:

P(AB) – ймовірність того, що настане або подіяА, або подіяВ, абоі А, і В;

P(AB) – ймовірність того, що настануть іА, і В.

Тоді P(AB) = P(A)+ P(B) – P(AB).

Зокрема, якщо А і В – несумісні (взаємовиключні) події, маємо P(AB) = P(A)+ P(B).

Дуже важливим є поняття умовної ймовірності. Умовною ймовірністю подіїА за умовиВ (позначаєтьсяР(А\B) називається ймовірність появиА за умови, що подіяВ уже відбулася.

Справедливе співвідношення

P(AB) = P(B) Р(А\B)

Події А іВ називаютьсянезалежними, якщо появаА жодним чином не залежить від появиВ. Інакше кажучи,А іВ незалежні, якщоР (А\B) =Р (А).

Кажуть, що події Н₁,...,Н_n утворюютьповну групу подій, якщо вони є взаємовиключними і сума їх ймовірностей дорівнює 1 (це означає, що з цих подій настане одна і тільки одна).

Якщо H₁,...,Н_п –повна група подій, то для будь-якої подіїА справедливі співвідношення

(формула повної ймовірності) та

Остання формула називається формулою Байєса і має дуже велике зна­чення, оскільки дозволяє обчислюватиапостеріорні ймовірностіР(Н_i\А) гіпотезH_i за умови, що подіяА відбулася, через апріорні ймовір­ностіР(А\Н_i). Більшість методик неточного логічного виведення так чиінакше пов'язані з формулою повної ймовірності та формулою Байєса.

При неточному логічному виведенні з кожним твердженням (фактом або правилом виведення) пов'язується число, яке характеризує міру його надійності. Ця характеристика називається коефіцієнтом упевненості, абомірою достовірності. Розрахунок коефіцієнтів упевненості тісно пов'я­заний з ймовірнісними методами, хоча ненадійність інформації далеко не завжди носить імовірнісний характер.

Коефіцієнти упевненості часто визначаються на основі експертних оці­нок. Проте в ряді випадків коефіцієнт упевненості можна отримати шля­хом статистичних досліджень. Якщо ж здійснюється логічне виведення, то коефіцієнт упевненості нерідко можна підрахувати, якщо відомі міри до­стовірності умови та правила виведення.

Чим надійнішою є інформація, тим вищі відповідні коефіцієнти упев­неності. Часто використовується шкала, за якої коефіцієнт 1 відповідає достовірно істинній події, 0 –достовірно хибній, а 0.5–повній невизна­ченості.

Але згадана шкала не є єдино можливою. Так, експертні системи MYCINтаEMYCIN, що є розвиткомMYCIN(ці системи призначені для виявлен­ня мікроорганізмів у крові) використовують шкалу, в якій достовірній істинності відповідає значення 1, достовірній хибності–значення“–1”, а повній невизначеності–0.