Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
57
Добавлен:
05.03.2016
Размер:
180.74 Кб
Скачать

Тризначна семантика для модальної логіки предикатів

Семантику для модальної логіки предикатів можна визначити, як для класичної. Простоти ради тимчасово проігноруємо складніші мови, засновані на модальній логіці. Проілюструємо модальну семантику, ввівши апроксимацію деяких форм логіки можливого за допомогою тризначної логіки. Бінарна логіка з двома значеннями {Н або 0, І або 1} сама елементарна. Істина і неправда – це дві множини висловів, і закони (класичної) логіки стверджують, що будь-який вислів – є елементом хоч би однієї з цих множин (закон виключеного третього) і що ніякий вислів не є елементом відразу двох цих множин (закон суперечності).

Які зміни треба внести в цю теорію, якщо вводяться модальності «можливо» і «необхідно»? Треба розглянути декілька класів висловів. Позначимо через N клас «необхідних» висловів, через Р «можливих», через І – «неможливих» (або «абсурдних») і через С «нейтральних» (або «можливо (випадково) помилкових») Ніякий вислів не належить одночасно N і С або І і Р. Це закон суперечності. Далі, клас N міститься в Р, а клас І – в С. Це відбито в законах походження можливого з необхідного і нейтрального з абсурдного:

будь-який необхідний вислів можливий,

будь-який абсурдний вислів не є необхідним.

Існують вислови, які є можливими і нейтральними одночасно. Їх називають «проблематичними». Множину таких висловів позначимо через U. Має місце закон виключеного четвертого:

будь-який вислів належить або Н або U або I.

Подивимося, як цю теорію модальності можна перевести у форму, алгебри. Кожному з класів

Н, U, I відповідає своя інтерпретація: «необхідно», «проблематично», «неможливо». Візьмемо три символи 2, 1, 0. Це логічні значення, що зіставляються вказаним інтерпретаціям. Кожному вислову можна приписати логічне значення. Ця тризначна логіка запропонована Лукасевичем.

У логіці Лукасевича кожен вислів володіє одним із значень 0, 1 або 2 (що інтерпретуються як семантичне значення вислову). Семантичне значення модальної формули можна знаходити, використовуючи таблиці, приведені табл. 1. Вони задають семантику для апроксимації модальної логіки можливого за допомогою тризначної логіки.

Таблиця 1 – Таблиця тризначних функцій (зв'язки Лукасевича) та модальних операторів

F

F

 G

 G

G

G

F

F

G

G

G

G

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

2

0

0

0

0

1

2

2

2

2

2

1

0

0

0

1

1

0

1

1

1

1

2

1

2

2

1

2

1

2

0

2

0

0

1

2

2

2

2

0

1

2

0

1

2

2

2

Семантика можливих світів

Множину дійсних подій можна розділити на «випадково істинні» (які істинні, але могли б виявитися помилковими, якби розвиток світу йшов інакше; такими є історичні події) і «необхідно істинні» (які не можна заперечувати, не ставлячи під сумнів нормальний сенс слів мови, такими є математичні і логічні істини). Так само хибні події ділять на «випадково помилкові» і «необхідно помилкові». Будемо вважати, що «необхідна істина» (у існуючому світі) пов'язана з подією, що підтверджується не тільки в існуючому, але і у всіх можливих світах. Таким же чином «можлива істина» буде пов'язана з подією, що підтвердилася в снуючому світі, але не у всіх можливих світах. «Необхідна помилкова» подія не підтверджується ні в якому з можливих світів, тоді як «випадково помилкова» помилкова в існуючому світі, але не у всіх можливих світах. Це ділення подій можна зобразити у вигляді діаграми (див. рис. 1).

Інтерпретаціям необхідно істинно, нейтрально істинно, нейтрально помилково, необхідно помилково можна зіставити відповідно логічні значення 3, 2, 1, 0. Отже, модальна логіка, пов'язана з операторами необхідно і випадкове, виявилася зануреною в чотиризначну логіку.

Припустимо, що семантика можливих світів зводиться до семантики з двома можливостями: існуючий світ X і можливий У. каждому вислову припишемо одне з л

Рис. 1 – Семантики можливих світів

огічних значень 0, 1, 2 або 3 відповідно до того, якій з умов, що приводяться нижче, воно задовольняє:

– помилково в X і в У (необхідно помилково),

– помилково в X і істинно в У (випадково, але не необхідно помилково)

– істинно в X і помилково в У (випадково, але не необхідно істинно)

– істинно в X і в У (необхідно істинно).

Вказана інтерпретація логічних значень приводить до таблиць (див. табл.2) для заперечення, кон'юнкції і операторів ÿ і à. Це задає деяку модальну семантику для чотиризначної логіки.

Таблиця 2 – Чотиризначні логічні операції і модальні оператори

F

F

 G

F

F

G

0

1

2

3

0

3

0

0

0

0

0

0

1

2

0

1

0

1

3

0

2

1

0

0

2

2

3

0

3

0

0

1

2

3

3

3

Відмітимо, що оператори заперечення і кон'юнкції, описані в табл.2 є прямим добутком двох екземплярів аналогічних операторів з бінарної системи {0, 1}. Це легко перевіряється з використанням наступного двійкового кодування логічних значень 0, 1, 2, 3:

0=(0,0), 1=(0, 1), 2=(1,0), 3=(1, 1).

Соседние файлы в папке Lec