Приклади модальних операторів

Алетичні оператори:

– ÿ: необхідно; ÿА – істинно тоді і тільки тоді, коли А необхідно істинне або А абсолютно істинно або А істинно у всіх можливих світах.

– à: можливо; àА – істинно, якщо А може виявитися істинним або якщо А умовно істинно або якщо А істинно в деякому можливому світі.

Часові оператори:

– G: завжди (в майбутньому); GA – істинно, якщо А залишиться істинним назавжди.

– Н: завжди (у минулому); НА – істинно, якщо А завжди було істинним.

– F : іноді (в майбутньому); FA – істинно, якщо А іноді буде істинним.

– Р : іноді (у минулому); РА – істинно, якщо А іноді виявлялося істинним.

– U : до тих пір, поки; U(А, В) – істинно, якщо А істинно (починаючи з теперішнього моменту) до тих пір, поки В не стане істинним в деякий момент в майбутньому. (G, F і Н, Р подвійні оператори в сенсі FA º ù Gù А і PA ºù Н ù А. Деякі часові логіки враховують тільки майбутнє. В цьому випадку часто вживають позначення ÿ і à відповідно для операторів G і F).

Епістемічні оператори:

– вірить(x): вірить(x) А – істинно, якщо індивід x вірить у формулу А.

Очевидно, що модальні формули незліченні, філософи запропонували і використали їх у величезній кількості. Всі ці формули представимі за допомогою модальних операторів.

Синтаксис модальної логіки предикатів

Хай М₁, М₂, ..., М_n– модальні оператори. Правила утворення модальних формул такі:

– Всі правила побудови з логіки предикатів (першого порядку) є також правилами побудови в модальній логіці предикатів.

– Якщо F – формула і М_j– модальний оператор, то M_jF – формула.

І знову основним завданням представлення знань є переклад фраз або описів, що відносяться до області експертизи, у формули модальної логіки предикатів. Семантичне значення цих модальних формул повинне відповідати істинам області експертизи.

Природна мова: Можливо, що Петро посилає книгу Марії

Логічно: àПосилка (Петро_2, Марія_4, Книга_22).

Природна мова: Не було можливим, щоб Петро посилав що-небудь кожному,

Логічно: Р( ù (à (х у z Відправник (z, Петро_2)   Одержувач (z, x) Об'єкт (z, у)  Елем (z, посилки)))).

(Словесне прочитання цієї формули таке: у минулому (Р) не є (ù) можливим (à), щоб Петро посилав що-небудь кожному).

Природна мова: Якщо Петро вірить даному вислову, то він вірить, що вірить йому (аксіома позитивної інтроспекції)

Логічно: вірить (Петро_2) р  вірить (Петро_2) (вірить (Жак_2) р).

Природна мова: Якщо Петро не вірить даному вислову, то він вірить, що не вірить йому (аксіома негативної інтроспекції)

Логічно: ù вірить (Петро_2) р вірить (Петро_2) (ù вірить (Петро_2) р).

Природна мова: Якщо факт того, що Петро вірить даному вислову, значить, що воно істинно, то Петро знає цей вислів

Логічно: (вірить (Петро_2) р  р)  (знає (Петро_2)р). (У багатьох випадках бажано, щоб переконання людей були істинними. Це приводить до поняття швидше знання, чим віра.)

Природна мова: Петро вірить, що він послав книгу (а не що-небудь інше) Марії.

Логічно: вірить(Петро_2)(Р х [Посилка(Петро_2, Марія_4, х)  Елем(х, книги)]).

Природна мова: Петро вірить, що він послав книгу (цілком визначену) Марії.

Логічно: x [вірить(Петро_2)(Р посилка(Петро_2, Марія_4, х))  Елем (х, книги)].

(Останній вираз показує, що в системі переконань Петра є формула типу [Р Посилка (Петро_2, Марія_4, х)  Елем (х, книги)]. Але її остаточний вигляд залежить від конкретного об'єкту, до якого відноситься змінна х. Передостанній вираз показує, що в системі переконань Петра міститься формула (Р х Посилка Ù Елем).)