Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Приазовский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lab_7-12

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.03.2016

Размер:

1.8 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

x2 5x 6

2x2 7x 6

3x6 5x2 2

16.

lim

7 x

lim

12x

5x 6

4x 5

x2 x

x 0

Вычислить значение производной:

Вычислить значение интеграла:

ln(5x 3)

cos x

ln(x

7).

cos

4tg3x

0.1

6 x x2

x2 5x 6

7x2 5x 9

17.

lim

x 9

lim

12x 20

4x x

x 0

x2 x

Вычислить значение производной:

Вычислить значение интеграла:

etg 3x

y log4 (x 1) arcsin4 x.

2 sin x

3x2 x 4

0.1

2x2 7x 6

x2 5x 6

3x4 2x 5

18.

lim

4x 1

lim

5x 6

12x 20

x 7

x 2

x3 8

x2 x

Вычислить значение производной:

Вычислить значение интеграла:

tg3 2x

y log3 (x 5) arccos3x.

sin(2 cos x)dx

lg(5x 1)

19.

lim

x3 x2 x 1

lim

2x2 9x 4

lim

x2 5x 6

lim

3x2 7x 4

4x 3

12x 20

2x 1

x 4

5 x

x 3

x2 x

Вычислить значение производной:

Вычислить значение интеграла:

y 3

4x2 3x 4

y tg

x arcctg3x .

cos 2 sin x dx

(x 3)

6 x x2

2x3 7x 1

20.

lim

2 x2 4

lim

3x 17

2x 12

lim

2x 5

8x 15

x 5

x 0

Вычислить значение производной:

Вычислить значение интеграла:

e ctg 5x

y (3x 4)3 arccos3x2 .

(3x

21.

lim

2x2 9x 10

5 x

x6 27

lim

x2 4

lim

x 1

8 x 3

x 3

3x x

x 3x 10

Вычислить значение производной:

Вычислить значение интеграла:

y 4

3x2 x 5

y ctg

x arccos 2x

x 1ex dx

5x2 11x 2

22.

lim

x 3

3x2 1 1

1 x

lim

1 x

x 7

2 3

x 0

x3 x2

x 10

Вычислить значение производной:

Вычислить значение интеграла:

3x4 2x3

y tg

3x arctg7x

esin x dx

(x 2)

8x3 1

3x2 6x 45

23.

lim

5x 1

lim

x 20

lim

5x 1

3x 35

2x 15

x1/

x 1 x2

x 4

x6 24

Вычислить значение производной:

Вычислить значение интеграла:

5 x

arcsin 3x3.

y 3

(x 7)5

ecos x dx

3x 5

3x2 2

x2 2x 35

24.

lim

x 13

lim

x 12

4 x

lim

11x 5

x 3

x 4

2x 8

x 1

x 8 3

Вычислить значение производной:

Вычислить значение интеграла:

(x 4)2

y arctg5 x log

(x 3).

cos x e x

arcctgx

3n2 3n 5

x2 x 12

3x2 2x 1

25.

lim

x 4

lim

1 n

x 2

4 x

x 3

x 5

x 1 2

x 13

27x

Вычислить значение производной:

Вычислить значение интеграла:

y cos

3x tg(4x 1)

y 7x

sin x3dx

2 4x2 3x3

3x2 2x 1

26.

lim

x 10

4 x

lim

4x 3

lim

7x 10

x 2

x 3

2x2

x 21

x 3

x2 9

Вычислить значение производной:

Вычислить значение интеграла:

y 7

3x3

y arcsin

ctg7x

sin(x4

2x3 x2 )dx

7x 10x 20

3 2x x 4

x 8

27.

lim

x 4

lim

x 10x 1

x 1

4x 1

x 0

x 6

Вычислить значение производной:

Вычислить значение интеграла:

y arccos

4x ln(x 3).

y 8x2

3 x4

sin x e x2 dx

28.

x 3x 3

3x 4x 1

4 2

x 16

lim

x 20

x 3 5 3x

x 1

16 4

x4 x

Вычислить значение производной:

Вычислить значение интеграла:

sin x

y 5x2

3 x4

y arctg

4x 3

cos x3 dx

x2 7x 10

3x2 7x 6

29.

lim

2x 1

x 6

lim

8 x

5 x 5 x

7x 6

x 5

2x2 7x 15

Вычислить значение производной:

Вычислить значение интеграла:

y 4

2).

y 3x5

cos x x3 dx

x2 5x 6

2x2 7x 6

3x6 5x2 2

30.

lim

7 x

lim

12x 20

5x 6

4x 5

x2 x

x 0

Вычислить значение производной:

Вычислить значение интеграла:

ln(5x 3)

cos x

ln(x

3x 7).

y 3

cos

4tg3x

0.1

6 x x2

x2 5x 6

7x2 5x 9

31.

lim

x 9

lim

12x 20

4x x

x 0

x x2

x2 x

Вычислить значение производной:

Вычислить значение интеграла:

etg 3x

y log4 (x 1) arcsin4 x.

2 sin x

3x2 x 4

0.1

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1)Какая панель используется для получения символьного расчета пределов, производных и интегралов?

2)Чем отличается символьное решение от численного?

3)Какие заполнители используются при решении численным методом?

4)В чем заключается метод средних прямоугольников?

5)В чем заключается метод трапеций?

6)В чем заключается метод Симпсона?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 12

ПРОГРАММИРОВАНИЕ ЧИСЛЕННЫХ В СРЕДЕ ПАКЕТА MATHCAD

НА ПРИМЕРЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ

ЦЕЛЬ. Изучить численные методы решения уравнений, научиться использовать возможности Mathcad для программирования численных методов.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

В лабораторной работе № 9 мы с вами уже рассматривали решение уравнений в среде пакета Mathcad – графическим методом, с помощью функции root, с помощью решающего блока Given и функции Find. Сегодня мы рассмотрим решение уравнения с помощью численных методов и найдем решение уравнения, создав программы по описанным ниже методам.

1. Метод половинного деления (бисекции)

Механизм метода бисекции, который больше известен под названием метода половинного деления, очень прост и заключается в том, что полученный при локализации отрезок на каждой итерации делится пополам. Из двух половинок выбирается та, на концах которой функция принимает значения противоположных зна-

ков. То есть проверяется то же условие, что и при методе сканирования. Процесс заканчивается, когда длина

полученного интервала становится меньше произведения 2Ɛ. Фактически этот метод исключает возможность появления ошибки. «Аварийная» ситуация может быть вызвана лишь тем, что граница полученного на итерации отрезка попадет в точку разрыва функции. Метод половинного деления наиболее универсальный среди всех итерационных методов. Но, как всегда, бочка меда не обходится без ложки дегтя – для бисекции характерна очень низкая скорость сходимости.

Итерационная формула метода бисекции:

Скорость сходимости: низкая Надежность сходимости: высокая

2. Метод Ньютона

Задан отрезок [а,b], содержащий корень уравнения F(x)=0. Уточнение значения корня производится путем использования уравнения касательной. В качестве начального приближения задается тот из концов отрезка [а,b], где значение функции и ее второй производной имеют одинаковые знаки (т.е. выполняется условие

F(x0)*F"(x0) > 0).

В точке F(x0) строится касательная к кривой у = F(x) и ищется ее пересечение с осью х. Точка пересечения принимается за новую итерацию. Метод Ньютона самый быстрый способ нахождения корней уравнений

Итерационная формула имеет вид:

xi 1	xi		F xi
			F xi

Итерационный процесс проходит до того времени, пока не будет выполнено условие |F(X)|< , где - заданная точность.

Рис. 1. Иллюстрация метода Ньютона

Рис. 1. иллюстрирует работу метода Ньютона. В данном случае вторая производная функции положительна, поэтому в качестве начального приближения выбрана точка хо = b. Как видно из рисунка, метод имеет очень быструю сходимость среди всех методов решения нелинейных уравнений: обычно заданная точность достигается за 2-3 итерации.

Достоинство метода Ньютона: очень быстрая сходимость по сравнению с методом половинного деления и методом простой итерации к заданной точности. Недостаток: громоздкий алгоритм: на каждой итерации необходимо вычислять значение функции и ее первой производной.

3. Метод хорд

Для реализации данного метода, нужно построить исходную функцию y=F(x) и найти значения функции на концах отрезка F(a) и F(b). Затем провести хорду М1M2 c концами в точках М1(a, F(a)) и M2(b, F(b)). Абсцисса точки пересечения хордыМ1M2 с осью OX это и есть приближенный корень x1. Далее найти точку M3(X1 ,F(x1 )), построить следующую хорду и найти второй приближенный корень x2. И так далее. В зависимости от поведения функции возможны два случая:

Рис. 1	Рис. 2

Для первого случая (Рис. 1) справедлива следующая формула (8):

xn 1	xn	F xn a xn
		F a F xn

и справедливо неравенство: F(a)*F''(a)>0, где x0=b.

Для второго случая (Рис. 2) справедлива следующая формула (9):

xn1	xn	F xn b xn
		F b F xn

и справедливо неравенство: F(b)*F''(b)>0, где x0=a.

Условия сходимости метода секущих аналогичны условиям сходимости метода Ньютона, т. е.:

F xn1

4. Метод простых итераций

Для нахождения действительных корней уравнения F(x) = 0, где F(x) - непрерывная функция на [a; b], его заменяют равносильным уравнением

						х = (х)	(14)
	Это можно сделать всегда, притом не одним способом. Например, уравнение
						х3 - 9х + 3 = 0
можно представить так:

1) x 3			9x 3;
2) x		x3		3	;
2) x				9	;
				9
3) x x3				8x 3;
4) x		x3		2x 3		.
4) x				7		.
				7

Пусть известен отрезок изоляции корня [a; b], тогда за начальное приближение искомого корня уравне-

ния (14) берут: x0 a b . Подставляя значение х0 в правую часть уравнения (14), получают первое приближе-

ние х1 = (х0). В качестве второго приближения берут х2 = (х1). Продолжая этот процесс дальше, получают числовую последовательность (хn), определенную с помощью рекуррентной формулы:

xn+1 = (xn), (n = 0, 1, 2, ...)

(15)

Полученная последовательность х0, х1, ..., xn, xn+1,... называется итерационной последовательностью, способ построения ее называется методом последовательных приближений или методом итераций численного решения уравнения.

При пользовании методом итераций необходимо выяснить основной вопрос: сходится ли полученная последовательность (хn) к решению х* уравнения (14) при возрастании n? Если последовательность (хn) сходит-

ся, то есть существует предел x* lim x , то, переходя к пределу в равенстве (15) и, предполагая, что функция
n	n
n
(х) непрерывна, получаем:		lim xn ,
	lim xn 1	lim xn ,	или x* = (x*).	(16)
n		n

Следовательно, в этом случае х = х* является корнем уравнения х = (х), а значит, и уравнения F(x) = 0. Если же последовательность (хn) окажется расходящейся, то есть не существует конечного предела по-

строенной последовательности приближений (хn), то это означает, что процесс итераций построен неудачно, и его надо заменить другим.

Следовательно, метод последовательных приближений применим при выполнении условия:

‘(x) M1 < 1 (18)

для всех х, принадлежащих отрезку изоляции корня уравнения (14), В этом случае процесс итераций сходится, и тем быстрее, чем меньше М1; если же ‘(x) > 1, то итерационный процесс расходится. Для конкретной оценки величины M1, определяющей скорость сходимости, проще всего пользоваться формулой: М1 = max ‘(x) , где max берется по отрезку изоляции корня [а: b].

5. Пример решения Mathcad

Найти решение уравнения: y x sin x 3 0.5

Примечание: TOL – системная переменная для задания точности вычислений.

ЗАДАНИЕ

1)Решить уравнение методом бисекции.

2)Решить уравнение методом Ньютона

3)Решить уравнение методом хорд.

4)Решить уравнение методом простой итераций.

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

1)Тема, цель работы.

2)Индивидуальное задание, текст документа Mathcad с результатами вычислений по методу бисекции.

3)Индивидуальное задание, текст документа Mathcad с результатами вычислений по методу Ньютона.

4)Индивидуальное задание, текст документа Mathcad с результатами вычислений по методу хорд.

5)Индивидуальное задание, текст документа Mathcad с результатами вычислений по методу простой итерации.

6)Выводы по проделанной работе.

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Таблица 1

ФУНКЦИИ К ЗАДАНИЮ 1

Вариант			Уравнение

1	x3 + 3x		– 1 =	0
2	x3 + 2x		+ 1 =	0
3	x3 + x – 1 = 0
4	x3 – 3x2 – 17x + 22 = 0
5	cos x · ex + 1 = 0
6	ex – x2 = 0
7	x3	– 2x + 2 = 0
8	x3	– x + 2 = 0
9	x3	– 2x	– 5 =	0
10	cos x – x + 4			= 0

11	2x – 3ln x – 3 = 0

12	x2	+ sin2x – 2 = 0
13	x = tg x

14	x3 – 3x2		+ 2 = 0
15	x3 + x – 3 = 0
16	x3 – x + 1 = 0
17	x3 + 3x + 1 = 0
18	x3 + 3x2		– 1 = 0
19	x3 + 4x2		– 2 = 0
20	x5 – x – 0,2 = 0
21	x3 – 0,2x2 – 0,2x – 1,2 = 0
22	x4 + 2x3 – x – 1 = 0
23	x3 – 3x – 3 = 0
24	x3 – 2x – 8 = 0
25	x2	+ 4 sin x = 0
26	3x – cos x – 1 = 0
27	2x – lg x = 0
28	x3	– 5x2	– 4x + 0,092 = 0
29	x3	– 4x2	– 7x + 13 = 0
30	x3	– 10x2 + 44x – 29 = 0

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1)В чем суть метода бисекции?

2)В чем суть метода хорд?

3)В чем суть метода Ньютона?

4)В чем суть метода простой итерации?

5)Какие панели и функции Mathcad используются для создания программного расчета?

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.03.2016475.65 Кб7Lab93.doc
#
05.03.201688.06 Кб9Laboratornaya_rabota_6.doc
#
05.03.20162.05 Mб33Lab_1-6.doc
#
05.03.201655.3 Кб29Lab_4.doc
#
05.03.20165.23 Mб63Lab_7-12.doc
#
05.03.20161.8 Mб10Lab_7-12.pdf
#
05.03.20161.15 Mб203Lapina_M_D_Soc_psy_KL_SR_2012.doc
#
05.03.2016116.22 Кб10Lapina_M_D_soc_psy_pr_SR_2012.doc
#
05.03.2016588.29 Кб39Lavrova_I_I_-_Konspekt_lektsy.doc
#
14.11.20195.28 Mб28lec_alg_i_geom.doc
#
11.07.2019871.42 Кб2lek pravoved antonec (1).doc