14
Контрольна робота №2
Вступ до математичного аналізу
2.1. Знайти значення функції, не користуючись правилом Лопіталя:
а) lim |
7x4 |
2x3 2 |
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x |
4 |
3 |
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x |
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Поділимо чисельник і знаменник на змінну у найвищому степені, тобто на x4 :
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4 |
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3 |
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при х вирази |
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x3 |
, |
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2 |
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, |
3 |
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x |
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x |
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2 |
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x |
4 |
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x |
4 |
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x |
4 |
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lim |
7x4 2x3 2 |
lim |
7 x4 |
2 x4 |
x4 |
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набувають значення, близького до 0. |
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x4 3 |
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x |
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x |
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x4 |
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3 |
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тоді маємо наступне: |
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x4 |
x4 |
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7 1 2 0 0 |
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7 |
7. |
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1 |
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1 0 |
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б) lim |
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1 3x |
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2x 6 |
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1 3 5 |
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2 5 6 |
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4 4 |
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0 |
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|||||||
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x |
2 |
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5x |
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2 |
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5 |
5 |
25 25 |
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x 5 |
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5 |
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0 |
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Помножимо чисельник і знаменник на вираз, спряжений до |
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чисельника, тобто на 1 3x |
2x 6 : |
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1 3x |
2x 6 |
1 3x |
2x 6 |
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lim |
1 3x |
2x 6 |
lim |
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|||||||||||||||||||||||
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|
x |
2 |
5x |
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x 5x |
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1 3x 2x |
6 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 5 |
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|
x 5 |
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|
2 |
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x 5 |
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||||||||
lim |
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1 |
3x |
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2x |
6 |
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|
lim |
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5 |
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||||||||||||||||||
x 5 x x 5 |
1 3x |
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2x 6 |
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x 5 x |
x |
1 3x |
|
2x 6 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
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|
1 |
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|
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1 |
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1 |
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1 |
. |
|||||||||||||
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|||||||||||
x 5 x |
1 3x |
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|
2x 6 |
|
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|
5 |
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1 3 5 |
|
2 |
5 6 |
|
5 |
4 4 |
|
40 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
1 cos 4x |
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1 cos 4 0 |
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0 |
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|
в) lim |
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|||||||||||||
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2 0 tg2 0 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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x 0 |
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2xtg2x |
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|
0 |
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|||||||||||||||||||||||||||
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Позбудемося |
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|
даної |
|
невизначеності, |
використовуючи |
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|
першу |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
sin x |
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0 |
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|||||||||
чудову границю lim |
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1 |
: |
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|
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|||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
x 0 |
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|
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|
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||||||||||||||
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15 |
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|
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|
|
1 cos 4x |
|
|
|
sin x |
|
|
1 cos 4x cos 2x |
cos 4x cos2 2x sin2 2x |
|
|||||||||||||||||||||
lim |
|
|
tgx |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
2x sin 2x |
lim |
|
2 |
2x sin |
2 |
2x 1 |
|
|
|||||||||||
2xtg 2x |
|
|
|
|
|
|
cos |
||||||||||||||||||||||||
x0 |
|
|
|
cos x |
x0 |
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
lim cos2 2x sin2 2x cos2 2x sin2 |
2x cos 2x lim |
|
2sin2 2x cos 2x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x0 |
|
|
|
|
|
2x sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
2x sin 2x |
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
2sin 2x cos 2x |
lim |
sin 4x |
|
2 |
lim |
sin 4x |
2 2 lim |
sin 4x |
2 1 2. |
|
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|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x0 |
2x |
|
|
|
x0 |
|
2x |
2 |
|
x0 |
4x |
x0 |
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
22 |
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
г) lim 3x |
5 |
|
|
3 2 |
5 |
|
|
6 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x2 4 |
22 4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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Розкриємо дану границю за допомогою другої чудової границі:
1 |
1 e. Для того, щоб можна було використати другу |
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lim 1 x |
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|||||||||||||||
x |
||||||||||||||||
x0 |
|
|
|
|
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|
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|
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||||||
чудову границю, проведемо заміну x 2 z. Тоді маємо наступне: |
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|||||||||||||||
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|
2 x |
|
x 2 z, |
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|
2 z2 |
|
2 z2 |
|
||||||
lim 3x 5 |
|
x z 2 |
|
lim 3 z 2 5 |
lim 3z 6 5 |
|
||||||||||
|
|
|
|
z 2 2 4 |
|
|||||||||||
x2 4 |
z2 4 z |
|||||||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
z0 |
z0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2, |
z 0 |
|
|
|
|
|
||||
|
2 02 |
|
4 |
1 . |
|
|
|
|
|
|||||||
3 0 1 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
02 4 0 |
0 |
|
|
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||||||||||
Застосуємо другу чудову границю. Для цього піднесемо значення
виразу до ступеню |
1 |
3z : |
|
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|
|||
3z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 z 2 |
|
|
1 |
|
2 z 2 |
|
6 z 2 |
|
6 0 2 |
|
|
lim 3z 6 5 |
|
lim 1 3z |
|
3z |
|
lime |
z 4 |
e |
0 4 |
e3. |
||
z2 4 z |
3z |
z2 4 z |
||||||||||
z 0 |
z 0 |
|
|
|
|
|
z 0 |
|
|
|
|
|
Відповідь: а) 7; б) 401 ; в) 2; г) e3.
2.2. Дослідити неперервність функції. Зробити схематичний рисунок
1
а) f (x) 114 x
Якщо |
для кожної точки а інтервалу b; c |
виконується умова: |
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lim |
f x f a lim |
f x , то дана функція є неперервною на даному |
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x a 0 |
x a 0 |
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інтервалі, в іншому точка а є точкою розриву.
16
Знайдемо критичні точки даної функції та перевіримо, чи є вони точками розриву:
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1 |
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1 |
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f (x) 114 x |
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114 x ln11 |
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, |
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2 |
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4 x |
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f (x) 0, |
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1 |
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1 |
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114 x ln11 |
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, |
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якщо x 4. |
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2 |
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f (x) , |
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4 x |
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Перевіримо, чи є точка x 4 точкою розриву: |
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1 |
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f 4 114 4 |
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, |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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f x |
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114 |
4 0 11 |
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11 |
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0, |
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lim |
lim 114 x |
|
0 |
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x 4 0 |
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|
x 4 0 |
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11 |
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1 |
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1 |
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1 |
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f x |
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114 |
4 0 11 |
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11 . |
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lim |
lim 114 x |
0 |
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x 4 0 |
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|
x 4 0 |
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0 |
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, тому точка |
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x 4 є точкою розриву другого роду, оскільки границя |
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1 |
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. |
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lim 114 x |
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x 4 0 |
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9
8
7
6
5
4
3
2
1
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
1
Таким чином, інтервали неперервності: x ; 4 4; .
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17 |
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2x |
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x 0 |
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2 |
1 |
0 |
x 1 |
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б) f (x) x |
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2 |
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x 1 |
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Функції y -2x, y x2 |
1 i y 2 однозначно є неперервними. |
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Перевіримо, чи є точками розриву точки x 0 та x 1. |
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x 0 : |
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f 0 2 0 0. |
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lim f x lim 2x 2 0 0 0. |
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||||||
x 0 0 |
x 0 0 |
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lim f x |
lim x2 1 0 0 2 |
1 1. |
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||||
x 0 0 |
x 0 0 |
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0 0 1 |
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Отже, точка x 0 є точкою розриву першого роду та точкою стрибка. |
|||||||||
x 1: |
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f 1 12 1 2. |
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lim f x lim x2 |
1 1 0 2 1 2. |
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|||||
x 1 0 |
x 1 0 |
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lim f x |
lim 2 2. |
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||
x 1 0 |
x 1 0 |
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|
2 2 2 |
|
|
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Таким чином, точка x 1 не є точкою розриву. |
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||||||||
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4 |
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3 |
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|
2 |
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1 |
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2 |
1.2 |
0.4 |
0.4 |
1.2 |
2 |
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Отже, інтервали неперервності: |
x ;0 0; . |
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