Контрольна робота №1

x1 x2 x3 1

8x1 3x2 6x3 2

4x x 3x 3

1 2

3

1

1 1

1

A

8

3 6

,

B

2

,

4

1 3

3

Якщо елементи будь-якого рядка (стовпця)

помножити на будь-яке число, відмінне від нуля, і

1

1

1

0

0

1

додати до відповідних елементів іншого рядка

8

3 6

(стовпця),то величина визначника не зміниться.

2

3

6

4

1

3

1

2

3

Додамо елементи третього стовпця до елементів

першого та другого стовпців:

Значення визначника дорівнює сумі добутків елементів

вибраного рядка (стовпця) визначника на їх алгебраїчні

a

A

a

A

a

A

11

11

12

12

13

13

доповнення. Використаємо це правило для першого рядка:

0 1 11

3

6

0 1 12

2

6

1 1 13

2 3

2 2

3 1 1.

2

3

1

3

1

2

1

1

1

Додамо елементи третього сповпчика до першого та другого

2

3

6

та запишемо визначник, як суму добутків елементів першого

1

3

1

3

рядка на їх алгебраїчні доповнення:

0

0

1

0 1 11

3

6

0 1 12

4

6

1 1 13

4

3

4

3

6

0

2

3

2

3

0

3

0

2

4 2 3 0 8.

1

1

1

Додамо елементи третього сповпчика до першого та другого

2

8

2

6

та запишемо визначник, як суму добутків елементів першого

4

3

3

рядка на їх алгебраїчні доповнення:

0

1

4

6

12

2

6

13

2

4

0

11

2

4

6

0 1

0

3

0 1

1

3

1 1

1

0

1

0

3

0 2 4 1 4.

1

1

1

Додамо елементи третього рядка до елементів першого,

домножимо елементи третього рядка на 3 і додамо до

3

8

3

2

4

1

3

елементів другого рядка. Запишемо визначник, як суму

3

0

2

добутків елементів другого стовпця на їх алгебраїчні доповнення:

4

7

22

3

2

32

3

2

12

4 0

7

0 1

4

3

0 1

4

3

1 1

4

7

4

1

3

3

8

8

x1

1

1

2

4

4 .

x2

1

3

13

13

x1

1

8

4 13 1

8 4 13 1

1 1

8 3

4 6 13 2

2 2

8

64 12 78 2

8

4 3 13 3

32 4 39 3

4

3 3

x1

8

Отже, x2

4 - розв’язок заданої системи рівнянь.

13

x1

1

1

1

1

A

8

3

6

,

B

2

4

1

3

3

A 1 11

6

9 6 3,

A 1 12

8

6

24 24 0,

3

11

1

3

12

4

3

A 1 13

8

3

8 12 4,

13

4

1

1

1

1

A 1 21

3 1 2,

A 1 22

3 4 1,

1

21

1

3

22

4

3

1

A 1 23

1 4 3,

1

23

4

1

1

1

1

1

6 8 2,

A 1 31

6 3 3,

A 1 32

31

3

6

32

8

6

1

A

1 33

1

3 8 5.

33

8

3

3

0 4 T

3

2 3

1

1

A

2

1

3

/

0 1 2

.

3

2 5

4

3 5

Використовуючи формулу X A1 B , знайдемо матрицю Х:

3 2

3

1

X11

3 1 2 2 3 3 3 4 9 8

8

1

X 21

X A

B

0 1

2

2

0 1 1 2 2 3 0 2 6 4

4

.

4 3

5

3

13

X31 4 1 3 2 5 3 4 6 15 13

Виконаємо перевірку:

A X B,

1

1

1

8

B11 1 8 1 4 1 13 8 4 13 1

1

8

3

6

4

B 8

8 3 4 6 13 64 12 78 2

2

B.

21

4

1

3

13

B 4 8 1 4 3 13 32 4 39 3

3

31

8

4

є єдиним розв’язком даної системи рівнянь.

Перевірка показала, що матриця X

13

8

4

Відповідь: X

13

1.2. Дано вектори a m n

та b m n , де

m

k ,

n

l ,

-3,

-2,

1,

5,

k 3,

l 6,

4

,

-1,

2,

1,

1.

3

a2 ba ab b 2

a2 ab b 2 .

а)

a b

a b

Оскільки a m n ,

b m n ,

m,n , маємо:

2 2

2

2 2k 2 2 kl cos 2l2 ,

a2 m n

m

2

m

n

cos 2

n

b 2 m n 2

2

m

2 2

m

n

cos 2

n

2 2k 2

2 kl cos 2l2 ,

a b

m n

m n

m

2

m

n

cos

m

n

cos

n

2

k 2

kl cos l2 .

a2

b

ab b 2 2 k 2

2 kl

cos

2l2

k 2

kl cos l2

2 k

2

2 kl cos 2l2

2 k 2 2 kl cos 2l2 k 2

k 2

kl cos

kl cos kl cos kl cos l2 l2 2 k 2

2 kl cos 2l2 k 2 2 2

kl cos 2 2 l2

2

2 .

a b

b

б) пр

a b

.

b

b

прb a b

m n m n

1

2 k 2

2 kl cos 2l2

2 k 2

2 kl

cos 2l2

m2

k 2

m2 nm mn n2

n2

l2

m n kl cos