9

Аналітична геометрія на площині

1.4. Дано вершини трикутник АВС: A(x1; y1 ) , B(x2 ; y2 ) , C(x3 ; y3 ) .

Знайти:

а) рівняння сторони АВ; б) рівняння висоти СН; в) рівняння медіани АМ;

г) точку N перетину медіани АМ і висоти СН;

д) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно до сторони АВ;

е) відстань від точки С до прямої

АВ.

А(4;-4) В(8;2) С(3;8)

y kCH x b. Для знаходження b використаємо координати точки С, яка точно належить даній прямій:

Отже, рівняння висоти СН: y 23 x 10.

в) Медіана АМ виходить з точки А і ділить відрізок ВС навпіл в точці М.

Для початку знайдемо координати точки М:

10

Тепер запишемо рівняння АМ за допомогою рівняння прямої, що проходить через дві точки А та М:

г) Оскільки точка N перетину медіани АМ та висоти СН належить обом цим прямим, то вона задовольняє обидва рівняння. Тоді маємо систему:

Розв’яжемо дану систему за допомогою правила Крамера:

2x 3y 30

6x y 28

рівняння набуває вигляду y 32 x b. Оскільки точка С належить шуканій прямій, маємо рівність:

1.5.Скласти рівняння лінії, кожна точка якої віддалена від прямої y 7 на відстань, у п’ять разів більшу, ніж від точки

А(4;-3).

Нехай точка M x; y належить даній лінії. Тоді відстань від цієї точки до точки A 4;3 і відстань від М до деякої точки В, такої, що довжина відрізка МВ дорівнює відстані від точки М до прямої y 7 , складають відносяться як MB 5MA . Оскільки МВ – відстань від точки М до прямої y 7 , то координати точки B x;7 . Врахувавши ці дані, запишемо наступну рівність:

MB 5MA;

xM xB 2 yM yB 2 5 xM xA 2 yM yA 2

x x 2 y 7 2 5 x 4 2 y 3 2

y 7 2 25 x 4 2 25 y 3 2

25 x 4 2 25 y2 6 y 9 y2 14 y 49 0 25 x 4 2 25 y2 150 y 225 y2 14 y 49 0 25 x 4 2 24 y2 164 y 176 0