Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

вища матем. 1-2 к.р

..docx
Скачиваний:
25
Добавлен:
05.03.2016
Размер:
499.96 Кб
Скачать

4

Варіант 18.

Контрольна робота №1

Елементи лінійної алгебри

    1. Довести сумісність даної системи лінійних рівнянь і розв’язати її двома способами:

  1. За допомогою правила Крамера

  2. Засобами матричного числення

  1. Для того, щоб довести сумісність системи лінійних рівнянь і розв’язати її за допомогою правила Крамера, необхідно знайти визначник матриці, елементами якої є коефіцієнти при невідомих (головний визначник системи), а також допоміжні визначники, одержані із головного визначника, заміною і–го стовпчика стовпцем вільних членів. Після цього проводиться аналіз:

а) Якщо то система має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулою:

б) Якщо і - система несумісна або має безліч розв’язків, для знаходження відповіді необхідні додаткові дослідження.

Знайдемо головний і допоміжні визначники системи:

,

Оскільки система сумісна і має один розв’язок.

Використавши формулу , знайдемо всі невідомі:

Виконаємо перевірку, підставивши отримані значення змінних у початкову систему:

Отже, - розв’язок заданої системи рівнянь.

  1. Розв’язування системи лінійних рівнянь засобами матричного числення зводиться до знаходження , де Х – матриця невідомих, В – матриця вільних членів, - матриця, обернена до А: .

Обернена матриця знаходиться наступним чином:

  1. Перевіряємо, чи є матриця невиродженою ();

  2. Складаємо союзну матрицю, елементами якої є алгебраїчні доповнення елементів матриці А

  3. Транспонуємо союзну матрицю

  4. Кожний елемент утвореної матриці ділимо на значення визначника.

Знайдемо обернену до А матрицю:

, тобто матриця є невиродженою, отже, для неї можна знайти обернену.

Запишемо алгебраїчні доповнення до кожного з елементів матриці А:

Використовуючи формулу , знайдемо матрицю Х:

Виконаємо перевірку:

Перевірка показала, що матриця є єдиним розв’язком даної системи рівнянь.

Відповідь:

Векторна алгебра

    1. Дано вектори та , де , , .

Знайти:

а) ;

б) .

а)

Оскільки , , , маємо:

В отриману формулу підставимо задані значення:

б)

Відповідь:

    1. Вершини піраміди знаходяться у точках А, В, С та Д.

Обчислити:

  1. Довжину ребра АВ;

  2. Кут між ребрами АВ і АС;

  3. Площу грані АВС;

  4. Об’єм піраміди АВСД.

Зробити рисунок.

А(3;-2;6) В(-6;-2;3) С(1;1;-4) Д(4;6;-7).

  1. Довжина ребра АВ буде визначатися як довжина вектора . Таким чином:

  1. Для знаходження кута між ребрами АВ і АС використаємо означення скалярного добутку:

  1. Площа грані АВС обчислюється за формулою Обчислимо значення площі:

  1. Об’єм піраміди дорівнює Тоді

Відповідь: 1) 2) 3) 4)

Аналітична геометрія на площині

    1. Дано вершини трикутник АВС: , , .

Знайти:

а) рівняння сторони АВ;

б) рівняння висоти СН;

в) рівняння медіани АМ;

г) точку N перетину медіани АМ і висоти СН;

д) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно до сторони АВ;

е) відстань від точки С до прямої АВ.

А(4;-4) В(8;2) С(3;8)

а) В загальному вигляді рівняння прямої, що проходить через дві точки, має вигляд . Для сторони АВ воно набуває вигляду

б) Висота , тому . Тоді рівняння СН набуває вигляду Для знаходження використаємо координати точки С, яка точно належить даній прямій:

Отже, рівняння висоти СН:

в) Медіана АМ виходить з точки А і ділить відрізок ВС навпіл в точці М.

Для початку знайдемо координати точки М:

Тепер запишемо рівняння АМ за допомогою рівняння прямої, що проходить через дві точки А та М:

г) Оскільки точка перетину медіани АМ та висоти СН належить обом цим прямим, то вона задовольняє обидва рівняння. Тоді маємо систему:

Розв’яжемо дану систему за допомогою правила Крамера:

Отже, .

д) Для паралельний прямих кутові коефіцієнти рівні, тому , тоді рівняння набуває вигляду Оскільки точка С належить шуканій прямій, маємо рівність:

Тоді рівняння шуканої прямої:

е) Для знаходження від точки С до прямої АВ використаємо формулу

Звідси маємо наступне:

    1. Скласти рівняння лінії, кожна точка якої віддалена від прямої на відстань, у п’ять разів більшу, ніж від точки А(4;-3).

Нехай точка належить даній лінії. Тоді відстань від цієї точки до точки і відстань від М до деякої точки В, такої, що довжина відрізка МВ дорівнює відстані від точки М до прямої , складають відносяться як . Оскільки МВ – відстань від точки М до прямої, то координати точки Врахувавши ці дані, запишемо наступну рівність:

Виконаємо перевірку:

Відповідь: шукана лінія – еліпс, заданий рівнянням

Контрольна робота №2

Вступ до математичного аналізу

2.1. Знайти значення функції, не користуючись правилом Лопіталя:

а)

Поділимо чисельник і знаменник на змінну у найвищому степені, тобто на :

б)

Помножимо чисельник і знаменник на вираз, спряжений до чисельника, тобто на :

в)

Позбудемося даної невизначеності, використовуючи першу чудову границю :

г)

Розкриємо дану границю за допомогою другої чудової границі: Для того, щоб можна було використати другу чудову границю, проведемо заміну Тоді маємо наступне:

Застосуємо другу чудову границю. Для цього піднесемо значення виразу до ступеню :

Відповідь: а) 7; б) ; в) 2; г)

2.2. Дослідити неперервність функції. Зробити схематичний рисунок

а)

Якщо для кожної точки а інтервалу виконується умова:, то дана функція є неперервною на даному інтервалі, в іншому точка а є точкою розриву.

Знайдемо критичні точки даної функції та перевіримо, чи є вони точками розриву:

Перевіримо, чи є точка точкою розриву:

, тому точка є точкою розриву другого роду, оскільки границя

Таким чином, інтервали неперервності:

б)

Функції однозначно є неперервними.

Перевіримо, чи є точками розриву точки та

Отже, точка є точкою розриву першого роду та точкою стрибка.

Таким чином, точка не є точкою розриву.

Отже, інтервали неперервності: .

Відповідь: а)

б)

Диференціальне числення однієї змінної

2.3. Знайти похідні даних функцій

а)

б)

в)

г)

Маємо складну показникову функцію, оскільки і основа, і степінь залежать від х. Для того, щоб продиференціювати дану функцію, прологарифмуємо її:

Очевидно, що Тоді:

д)

Візьмемо тангенс лівої та правої частини :

Продиференцюємо ліву та праву частини рівняння, вважаючи, що :

Відповідь: а) б)

в) г)

д)

2.4. Знайти та для заданих функцій

а) б) ,

а)

б) ,

Для знаходження та використаємо наступні формули:

Знайдемо спочатку

Відповідь: а) б)

2.5. Скласти рівняння нормалі і дотичної до даної кривої у точці з абсцисою

Рівняння дотичної до графіка диференційованої функції у точці , де , має вигляд

Рівняння нормалі у тій же точці

Ордината точки дотику Обчислимо значення похідної у точці

Тоді рівняння дотичної має вигляд:

Запишемо рівняння нормалі:

Відповідь: рівняння дотичної: рівняння нормалі