вища матем. 1-2 к.р
..docx
Варіант 18.
Контрольна робота №1
Елементи лінійної алгебри
-
Довести сумісність даної системи лінійних рівнянь і розв’язати її двома способами:
-
За допомогою правила Крамера
-
Засобами матричного числення
-
Для того, щоб довести сумісність системи лінійних рівнянь і розв’язати її за допомогою правила Крамера, необхідно знайти визначник матриці, елементами якої є коефіцієнти при невідомих (головний визначник системи), а також допоміжні визначники, одержані із головного визначника, заміною і–го стовпчика стовпцем вільних членів. Після цього проводиться аналіз:
а) Якщо то система має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулою:
б) Якщо і - система несумісна або має безліч розв’язків, для знаходження відповіді необхідні додаткові дослідження.
Знайдемо головний і допоміжні визначники системи:
,
Оскільки система сумісна і має один розв’язок.
Використавши формулу , знайдемо всі невідомі:
Виконаємо перевірку, підставивши отримані значення змінних у початкову систему:
Отже, - розв’язок заданої системи рівнянь.
-
Розв’язування системи лінійних рівнянь засобами матричного числення зводиться до знаходження , де Х – матриця невідомих, В – матриця вільних членів, - матриця, обернена до А: .
Обернена матриця знаходиться наступним чином:
-
Перевіряємо, чи є матриця невиродженою ();
-
Складаємо союзну матрицю, елементами якої є алгебраїчні доповнення елементів матриці А
-
Транспонуємо союзну матрицю
-
Кожний елемент утвореної матриці ділимо на значення визначника.
Знайдемо обернену до А матрицю:
, тобто матриця є невиродженою, отже, для неї можна знайти обернену.
Запишемо алгебраїчні доповнення до кожного з елементів матриці А:
Використовуючи формулу , знайдемо матрицю Х:
Виконаємо перевірку:
Перевірка показала, що матриця є єдиним розв’язком даної системи рівнянь.
Відповідь:
Векторна алгебра
-
Дано вектори та , де , , .
Знайти:
а) ;
б) .
а)
Оскільки , , , маємо:
В отриману формулу підставимо задані значення:
б)
Відповідь:
-
Вершини піраміди знаходяться у точках А, В, С та Д.
Обчислити:
-
Довжину ребра АВ;
-
Кут між ребрами АВ і АС;
-
Площу грані АВС;
-
Об’єм піраміди АВСД.
Зробити рисунок.
А(3;-2;6) В(-6;-2;3) С(1;1;-4) Д(4;6;-7).
-
Довжина ребра АВ буде визначатися як довжина вектора . Таким чином:
-
Для знаходження кута між ребрами АВ і АС використаємо означення скалярного добутку:
-
Площа грані АВС обчислюється за формулою Обчислимо значення площі:
-
Об’єм піраміди дорівнює Тоді
Відповідь: 1) 2) 3) 4)
Аналітична геометрія на площині
-
Дано вершини трикутник АВС: , , .
Знайти:
а) рівняння сторони АВ;
б) рівняння висоти СН;
в) рівняння медіани АМ;
г) точку N перетину медіани АМ і висоти СН;
д) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно до сторони АВ;
е) відстань від точки С до прямої АВ.
А(4;-4) В(8;2) С(3;8)
а) В загальному вигляді рівняння прямої, що проходить через дві точки, має вигляд . Для сторони АВ воно набуває вигляду
б) Висота , тому . Тоді рівняння СН набуває вигляду Для знаходження використаємо координати точки С, яка точно належить даній прямій:
Отже, рівняння висоти СН:
в) Медіана АМ виходить з точки А і ділить відрізок ВС навпіл в точці М.
Для початку знайдемо координати точки М:
Тепер запишемо рівняння АМ за допомогою рівняння прямої, що проходить через дві точки А та М:
г) Оскільки точка перетину медіани АМ та висоти СН належить обом цим прямим, то вона задовольняє обидва рівняння. Тоді маємо систему:
Розв’яжемо дану систему за допомогою правила Крамера:
Отже, .
д) Для паралельний прямих кутові коефіцієнти рівні, тому , тоді рівняння набуває вигляду Оскільки точка С належить шуканій прямій, маємо рівність:
Тоді рівняння шуканої прямої:
е) Для знаходження від точки С до прямої АВ використаємо формулу
Звідси маємо наступне:
-
Скласти рівняння лінії, кожна точка якої віддалена від прямої на відстань, у п’ять разів більшу, ніж від точки А(4;-3).
Нехай точка належить даній лінії. Тоді відстань від цієї точки до точки і відстань від М до деякої точки В, такої, що довжина відрізка МВ дорівнює відстані від точки М до прямої , складають відносяться як . Оскільки МВ – відстань від точки М до прямої, то координати точки Врахувавши ці дані, запишемо наступну рівність:
Виконаємо перевірку:
Відповідь: шукана лінія – еліпс, заданий рівнянням
Контрольна робота №2
Вступ до математичного аналізу
2.1. Знайти значення функції, не користуючись правилом Лопіталя:
а)
Поділимо чисельник і знаменник на змінну у найвищому степені, тобто на :
б)
Помножимо чисельник і знаменник на вираз, спряжений до чисельника, тобто на :
в)
Позбудемося даної невизначеності, використовуючи першу чудову границю :
г)
Розкриємо дану границю за допомогою другої чудової границі: Для того, щоб можна було використати другу чудову границю, проведемо заміну Тоді маємо наступне:
Застосуємо другу чудову границю. Для цього піднесемо значення виразу до ступеню :
Відповідь: а) 7; б) ; в) 2; г)
2.2. Дослідити неперервність функції. Зробити схематичний рисунок
а)
Якщо для кожної точки а інтервалу виконується умова:, то дана функція є неперервною на даному інтервалі, в іншому точка а є точкою розриву.
Знайдемо критичні точки даної функції та перевіримо, чи є вони точками розриву:
Перевіримо, чи є точка точкою розриву:
, тому точка є точкою розриву другого роду, оскільки границя
Таким чином, інтервали неперервності:
б)
Функції однозначно є неперервними.
Перевіримо, чи є точками розриву точки та
Отже, точка є точкою розриву першого роду та точкою стрибка.
Таким чином, точка не є точкою розриву.
Отже, інтервали неперервності: .
Відповідь: а)
б)
Диференціальне числення однієї змінної
2.3. Знайти похідні даних функцій
а)
б)
в)
г)
Маємо складну показникову функцію, оскільки і основа, і степінь залежать від х. Для того, щоб продиференціювати дану функцію, прологарифмуємо її:
Очевидно, що Тоді:
д)
Візьмемо тангенс лівої та правої частини :
Продиференцюємо ліву та праву частини рівняння, вважаючи, що :
Відповідь: а) б)
в) г)
д)
2.4. Знайти та для заданих функцій
а) б) ,
а)
б) ,
Для знаходження та використаємо наступні формули:
Знайдемо спочатку
Відповідь: а) б)
2.5. Скласти рівняння нормалі і дотичної до даної кривої у точці з абсцисою
Рівняння дотичної до графіка диференційованої функції у точці , де , має вигляд
Рівняння нормалі у тій же точці
Ордината точки дотику Обчислимо значення похідної у точці
Тоді рівняння дотичної має вигляд:
Запишемо рівняння нормалі:
Відповідь: рівняння дотичної: рівняння нормалі