7

1.3. Вершини піраміди знаходяться у точках А, В, С та Д.

Обчислити:

1)

Довжину ребра АВ;

2)

Кут між ребрами АВ і АС;

3)

Площу грані АВС;

4)

Об’єм піраміди АВСД.

Зробити рисунок.

А(3;-2;6)

В(-6;-2;3)

С(1;1;-4)

Д(4;6;-

7).

1)

Довжина ребра АВ буде

визначатися як довжина вектора AB .

Таким чином:

AB

xB xA 2 yB yA 2 zB zA 2

6 3 2 2 2 2 3 6 2

9 2

02

3 2

81 9

90 3

10.

2) Для знаходження кута між ребрами АВ і АС використаємо означення

скалярного добутку:

a b a b cos a,b ,

cos a,b

a b

xa xb

ya yb za

zb

.

a b

x 2

y 2 z 2

x 2

y

2 z 2

a

a

a

b

b

b

cos AB, AC

xB xA xC xA yB

yA yC yA zB

zA zC

zA

xB xA

2 yB yA 2 zB zA 2 xC xA 2 yC yA 2 zC zA 2

6 3

1 3

2

2

1

2

3 6

4 6

2

2

6 3

2

2

2

3 6

2

1 3

2

1

2

4 6

2

9

2 0 3 3 10

18 30

81 9

4

9 100

9 2 02

3 2

2 2

32

10 2

48

16 10

113

8 1130

8 1130 .

3 10

113

10 113

5 113

565

3) Площа

грані

АВС

обчислюється

за

формулою

S

ABC

1

AB AC

.

2

Обчислимо значення площі:

i

j

k

AB AC

xB xA

yB yA

zB zA

xC xA

yC yA

zC zA

y

B

y

A

z

B

z

A

x

B

x

A

z

B

z

A

x

B

x

A

y

B

y

A

;

;

yC yA

zC zA

xC xA

zC zA

xC xA

yC yA

2

2

3 6

6 3

3 6

6 3

2 2

;

;

1 2

4 6

1 3

4 6

1 3

1 2

0

3

9

3

9

0

3 10

;

2

10

;

2

3

0 10 3 3 ;

9 10 3 2 ;

9 3 0 2

0 9 ;

90 6 ;

27 0

9;

84;

27 .

1

1

1

SABC

AB AC

9;

84;

27

92

84 2 27 2

2

2

2

1

1

3

874

.

81 7056 729

7866

2

2

2

4) Об’єм піраміди дорівнює V

1

AB AC AD

. Тоді

6

2 2

1

AB AC AD

1

xB xA

yB yA

zB zA

1

6 3

3 6

V

xC xA

yC yA

zC zA

1 3

1 2

4 6

6

6

6

xD xA

yD yA

zD zA

4 3

6 2

7 6

9

0

3

Домножимо елементи третього

0

0

3

1

2

3

10

стовпця на 3

та додамо до

1

28

3

10

6

6

1

8

13

елементів першого стовпця

40

8

13

1

3 1 1 3

28

3

1

3 4 28 2 3 10

1

12 56 30

6

40

8

6

6

2 26