Перетини твірної з еліпсом будуть. Виключимо, і з цих рівнянь і рівняння

(точка лежить на еліпсі) . Маємо: : , .

Звідси і . Підставляючи значенняі в рівняння еліпса (12.27), отримаємо або

Це і є шукане рівняння конуса. •

4.1.9 Канонічні рівняння поверхонь другого порядку

По заданому рівнянню поверхні другого порядку (тобто поверхні, рівняння якої в прямокутній системі координат є рівнянням алгебри другого ступеня) визначатимемо її геометричний вид. Для цього застосовний так званий метод перетинів. дослідження вода поверхні проводитимемо за допомогою вивчення ліній перетину даної поверхні з координатними площинами або площинами, ним паралельними.

Еліпсоїд

Досліджуємо поверхню, задану рівнянням

(12.28)

Розглянемо перетини поверхні (12.28) з площинами, паралельними

площини . Рівняння таких площин: , де — будь-яке число. Лінія, одержувана в перетині, визначається двома рівняннями

(12.29)

Досліджуємо рівняння (12.29):

а) Якщо , то Точок перетину поверхні (12.28) з площинами не існує.

б) Якщо, то Лінія перетину (12.29) вироджується в дві точки і . Площини і торкаються даної поверхні.

в)Якщо , то рівняння (12.29) можна переписати у вигляді:

Як видно, лінія перетину є еліпс з напівосями (див. рис. 91)

і

При цьому чим менше, тим більше напівосі . При вони досягають своїх найбільших значень: Рівняння (12.29) приймуть вигляд

Аналогічні результати отримаємо, якщо розглянемо перетини поверхні (12.28) площинами і

Таким чином, розглянуті перетини дозволяють зобразити поверхню (12.28) як замкнуту овальну поверхню. Поверхня (12.28) називається еліпсоїдом. Величини і називаються напівосями еліпсоїда. Якщо всі вони різні, то еліпсоїд називається трьовісним. Якщо які-небудь дві напівосі рівні, тривісний еліпсоїд перетворюється на еліпсоїд обертання, якщо то — в сферу

Однопорожнинний гіперболоїд

Досліджуємо поверхню, задану рівнянням

(12.30)

Перетинаючи поверхню (12.30) площини, отримаємо лінію перетину, рівняння якої мають вигляд

або

Як видно, цією лінією є еліпс з напівосями

і

Напівосі і досягають свого якнайменшого значення при: , , . При зростанні напівосі еліпса збільшуватимуться.

_{Якщо перетинати поверхню (12.30) площинами} або, то в перетині отримаємо гіперболи. Знайдемо, наприклад , лінію перетину поверхні (12.30) з площиною рівняння якої. Ця лінія перетину описується рівняннями

Як видно, ця лінія є гіпербола (див. рис. 92).Аналіз цих перетинів показує, що поверхня, визначувана рівнянням (12.30), має форму нескінченної трубки, що розширяється. Поверхня (12.30) називається однопорожнинним гіперболоїдом.

Зауваження: можна довести, що через будь-яку точку гіперболоїда (12.30) проходять дві прямі, лежачі на ньому.

Двопорожнинний гіперболоїд

Нехай поверхня задана рівнянням

(12.31)

Якщо поверхню (12.31) перетнути площинами z = h, то лінія перетину визначається рівняннями

(12.32)

Звідси витікає, що:

а) Якщо, то площини не перетинають поверхні;

б) Якщо, то площини торкаються даної поверхні відповідно в точках і .

в) Якщо, то рівняння (12.32) можуть бути переписаний так

Ці рівняння визначають еліпс, напівосі якого зростають із зростанням .

Рис. 93.

Перетинаючи поверхню (12.31) координатними площинами і , отримаємо в перетині гіперболи, рівняння яких відповідно мають вигляд

і

У обох гіпербол дійсною віссю є вісь . Метод перетину дозволяє зобразити поверхню (див. рис. 93), визначувану рівнянням (12.31), як поверхню, що складається з двох порожнин, що мають форму опуклих необмежених чаш. Поверхня (12.31) називається двопорожнинним гіперболоїдом

Еліптичний параболоїд

Досліджуємо поверхню, задану рівнянням

(12.33)

де Розітнемо поверхню (12.33) площинами . В перетині отримаємо лінію, рівняння якою є

Якщо , то площини поверхні не перетинають; якщо, то площина торкається поверхні в точці (0;0;0);

якщо, то в перетині маємо еліпс, рівняння якого має вигляд

Його напівосі зростають із зростанням.. При перетині поверхні (12.33) координатними площинами Oxz і Oyz вийдуть відповідно параболи і . Таким чином, поверхня, визначувана рівнянням (12.33), має вид опуклої, нескінченно розширяється чаші (див. рис. 94). Поверхня (12.33) називається еліптичним параболоїдом.