Відстань від точки до площини

Нехай задана точка і площина своїм рівнянням . Відстань від точки до площини знаходиться по формулі

Висновок цієї формули такий же, як висновок формули відстані від точки до прямої (див. с.61).

Відстань від точки до площини дорівнює модулю проекції вектора, де — довільна точка площини, на напрям нормального вектора (див. рис. 74). Отже

А оскільки точка належить площині, то

, тобто

Тому . Відзначте, що якщо площина задана рівнянням то відстань від точки до площини може бути знайдено по формулі

Рівняння прямої в просторі

Положення прямої в просторі цілком визначено, якщо задати яку або крапку на прямій і вектор, паралельний цій прямій. Вектор називається направляючим вектором прямої. Нехай пряма задана точкою і направляючим вектором . Візьмемо на прямій довільну точку. Позначимо радіус-вектори точок і відповідно через і . Очевидно, що три вектори, і зв'язані співвідношенням

(12.10)

Вектор, що лежить на прямій, паралельний направляючому вектору, тому, де - скалярний множник, званий параметром, може приймати різні значення залежно від положення точки на прямій (див. рис. 75). Рівняння (12.10) можна записати у вигляді

(12.11)

Отримане рівняння називається векторним рівнянням прямої.

Параметричні рівняння прямої

Помічаючи, що,, , рівняння (12.11) можна записати у вигляді

Звідси слідує рівність: (12.12)

Вони називаються параметричними рівняннями прямої в просторі. Канонічні рівняння прямої

Нехай — направляючий вектор прямої і — точка, що лежить на цій прямій. Вектор, що сполучає точку з довільною точкою прямої, паралель вектору . Тому координати вектора і вектора пропорційні:

(12.13)

Рівняння (12.13) називаються канонічним рівняннями прямої в просторі.

Зауваження: 1) Рівняння (12.13) можна було б отримати відразу з параметричних рівнянь прямої (12.12), виключивши параметр t. З рівнянь (12.12) знаходимо

2) Перетворення в нуль одного із знаменників рівнянь (12.13) означає перетворення в куль відповідного чисельника.

Наприклад, рівняння задають пряму, що проходить через точку перпендикулярно осі (проекція вектора на вісь рівна нулю). Але це означає, що пряма лежить в площині, і тому для всіх точок прямої буде .

Рівняння прямої в просторі, що проходить через дві точки

Нехай пряма проходить через точки, і . Як направляючий вектор можна узяти вектор, тобто (див. рис. 76). Отже . Оскільки пряма проходить через точку, то, згідно рівнянням (12.13), рівняння прямої мають вигляд

(12.14)

Рівняння (12.14) називаються рівняннями прямої, що проходить через дві дані точки.

Загальні рівняння прямої

Пряму в просторі можна задати як лінію перетину двох непаралельних площин. Розглянемо систему рівнянь

(12.15)

Кожне з рівнянь цієї системи визначає площину. Якщо, площини не паралельні (координати векторів і не пропорційні), то система (12.15) визначає пряму як геометричне місце точок простору, координати яких задовольняють кожному з рівнянь системи (див. рис. 77). Рівняння (12.15) називають загальними рівняннями прямої.

Від загальних рівнянь (12.15) можна перейти до канонічних рівнянь (12.13). Координати точки на прямій одержуємо з системи рівнянь (12.15), додавши одну з координат довільне значення (наприклад, 2 = 0). Оскільки пряма перпендикулярна векторам і, то за направляючий вектор прямої можна прийняти векторний добуток :

Зауваження: Канонічні рівняння прямої легко отримати, узявши дві які-небудь точки на ній і застосувавши рівняння (12.14).

Приклад 12.1. Написати канонічні рівняння прямої, заданою рівнянням

Рішення: Покладемо і вирішимо систему точку . Покладемо і вирішимо систему

Знаходимо другу точку прямої . Записуємо рівняння прямої, що проходить через точки і :

Пряма лінія в просторі. Основні задачі

Кут між прямими. Умови паралелі і перпендикулярності прямих

Нехай прямі і задані рівняннями

і

Під кутом між цими прямими розуміють кут між направляючими векторами і (див. рис. 78). Тому, по відомій формулі для косинуса кута між векторами, одержуємо або

(12.16)

Для знаходження гострого кута між прямими і чисельник правої частини формули (12.16) слідує узяти по модулю.

Якщо прямі і перпендикулярні, то в цьому і тільки в цьому випадку маємо . Отже, чисельник дробу (12.16) рівний нулю, тобто .

Якщо прямі і паралеьні, то паралеьні їх направляючі вектори і . Отже, координати цих векторів пропорційні, тобто .

Приклад 12.2. Знайти кут між прямими і

Розв’язок: Очевидно, а, де . Звідси витікає, що . Оскільки, то .