Нехай в площині лежить деяка лінія, рівняння якої (12.21)

Теорема 12.1. Рівняння циліндра, твірні якого паралельні осі Oz, має вигляд (12.21), тобто не містить координати z. (12.21)

Побудуємо циліндр із твірними паралельними осі і направляючою .

Візьмемо на циліндрі будь-яку точку (див. рис. 84). Вона лежить на якійсь твірній. Нехай — точка перетину цієї твірної з площиною . Отже, точка лежить на кривій і її координати задовольняють рівнянню (12.21).

Але точка має такі ж абсцису и ординату, що і точка . Отже, рівнянню (12.21) задовольняють і координати точки, оскільки воно не містить . І оскільки — це будь-яка точка циліндра, те рівняння (12.21) і буде рівнянням цього циліндра.

Тепер ясно, що є рівняння циліндра із твірними, паралельними осі, а — з твірними, паралельними осі . Назва циліндра визначається назвою направляючої. Якщо направляючій служить еліпс

в площині, то відповідна циліндрова поверхня називається еліптичним циліндром (див. рис. 85).

Окремим випадком еліптичного циліндра є круговий циліндр, його рівняння . Рівняння визначає в просторі параболічний циліндр (див. рис. 86). Рівняння

визначає в просторі гіперболічний циліндр (див. рис. 87).

Всі ці поверхні називаються циліндрами другого порядку, оскільки їх рівняння є рівняння другого ступеня відносно поточних координат і .

Рис. 87.

Поверхні обертання. Конічні поверхні

Поверхня, утворена обертанням деякої плоскої кривої навкруги осі, що лежить в її площині, називається поверхнею обертання. Нехай деяка крива лежить в площині . Рівняння цієї кривої

запишуться у вигляді

(12.22)

Знайдемо рівняння поверхні, утвореної обертанням кривої навкруги осі .

Візьмемо на полощині довільну точку (см. рис. 88). віссю і кривої відповідно через і . Позначимо координати точ­ки через . Відрізкиі є радіусами одної і тієї ж округи . Тому. Але . То, або . Окрім цього, очевидно .

Оскільки точка лежить на кривій, то її координати задовольняють рівнянню (12.22), Отже . Виключаючи допоміжні координати і точки, приходимо до рівняння (12.23)

Рис. 88.

Рівняння (12.23) — шукане рівняння поверхні обертання, йому задовольняють координати будь-якої точки цієї поверхні і не задовольняють координати точок, що не лежать на поверхні обертання.

Як видно, рівняння (12.23) виходить з (12.22) простої заміною на, координата я зберігається.

Зрозуміло, що якщо крива (12.22) обертається навкруги осі, то рівняння поверхні обертання має вигляд

Рис. 89.

якщо крива лежить в площини і її рівняння, то рівняння поверхні обертання, утвореної обертанням кривої навкруги осі, є

Так, наприклад, обертаючи пряму навкруги осі (див. рис. 89), отримаємо поверхню обертання (її рівняння або). Вона називається конусом другого порядку.

Поверхня, утворена прямими лініями, що проходять через дану точку і перетинаючими дану плоску лінію (не проходить через), називається конічною поверхнею конусом. При цьому лінія називається направляючою конуса, точка — її вершиною, а пряма, описує поверхня, називається утворюючою. Нехай направляюча задана рівняннями

(12.24)

а точка — вершина конуса. Знайдемо рівняння конуса.

Візьмемо на поверхні конуса довільну точку (див. рис. 90). Твірна, що проходить через точки і, перетне направляючу в деякій точці . Координати точки задовольняють рівнянням (12.24) направляючої.

(12.25)

Канонічні рівняння твірних, що проходять через точки і, мають вигляд

(12.26)

Виключаючи, і з рівнянь (12.25) і (12.26), отримаємо рівняння конічної поверхні, що зв'язує поточні координати і . .

Приклад 12.3. Скласти рівняння конуса з вершиною в точці, якщо направляючій служить еліпс, що лежить в площині .

Розв’язок: Нехай — будь-яка точка конуса. Канонічні рівняння твірних, що проходять через точки і точку