Основні поняття.

Рівняння площини в просторі.

Площина. Основні задачі.

Рівняння прямої в просторі.

Пряма лінія в просторі. Основні задачі.

Пряма і площина в просторі. Основні задачі.

Циліндричні поверхні.

Поверхні обертання. Конічні поверхні.

Канонічне Рівняння поверхні другого порядку.

Рівняння площини в просторі

Найпростішою поверхнею є площина. Площину в просторі можна задати різними способами. Кожному з них відповідає певний вид її рівняння.

Рівняння площини, що проходить через дану точку перпендикулярно даному вектору

Нехай у просторі площина задана точкою і вектором , перпендикулярним цій площині(см. рис. 69). Виведемо рівняння площини . Візьмемо на ній довільну точку і складемо вектор . При довільному місці точки на площині вектори и взаємно перпендикулярні, тому їх скалярний добуток дорівнює нулю: , тобто

. (12.3)

Координати будь-якої точки площини задовольняють рівняння (12.3), координати точок, що не лежать на площині, цьому рівнянню не задовольняють (для ).

Рівняння (12.3) називається рівнянням площини, що проходить через дану точку перпендикулярно вектору. Воно першого ступеня відносно поточних координат і . Вектор називається нормальним вектором площини.

Додаючи коефіцієнтам і рівняння (12.3) різні значення, можна отримати рівняння будь-якої площини, що проходить вектор . Сукупність площин, що проходять через дану точку, називається зв'язкою площин, а рівняння (12.3) — рівнянням зв'язку площин.

Загальне рівняння площини

Розглянемо загальне рівняння першого ступеня з трьома змінними і :

. (12.4)

Вважаючи що, принаймні, один з коефіцієнтів або не рівний нулю, наприклад , перепишемо рівняння (12.4) у вигляді

(12.5)

Порівнюючи рівняння (12.5) з рівнянням (12.3), бачимо, що рівняння (12.4) і (12.5) є рівнянням площини з нормальним вектором , що проходить через точку .

Отже, рівняння (12.4) визначає в системі координат деяку площину. Рівняння (12.4) називається загальним рівнянням площини.

Окремі випадки загального рівняння площини:

1. Якщо , то воно приймає, вигляд . Цьому рівнянню задовольняє точка.Отже, в цьому випадку площина проходить через початок координат.

2. Якщо , то маємо рівняння. Нормальний вектор перпендикулярний осі Oz. Отже, площина паралель осі Oz; якщо — паралель осі, — паралель осі .

3. Якщо, то площина проходить через паралель осі, тобто площина проходить через вісь. Аналогічно рівнянням і , відповідають площини, що проходять відповідно через осі і .

4. Якщо, то рівняння (12.4) приймає вигляд тобто . Площина паралельна площині. Аналогічно, рівнянням і відповідають площини, відповідно паралельні площинам і .

5. Якщо, то рівняння (12.4) прикмет вигляд, тобто . Це рівняння площини. Аналогічно: — зрівняний площині ; — рівняння площини .

Рівняння площини, що проходить через три дані точки

Три точки простору, не лежачі па однієї прямої, визначають єдину площину. Знайдемо рівняння площини, що проходить через три дані точки, ,і , не лежачі на одній прямій.

Візьмемо на площині довільну точку і складемо вектори , , . Ці вектори лежать на площині отже, вони компланарні. Використовуємо умову компланарності трьох векторів (їх змішаний добуток дорівнює нулю), одержуємо, тобто

(12.6)

Рівняння (12.6) є рівняння площини, що проходить через три дані точки.

Рівняння площини у відрізках

Нехай площина відсікає на осях і відповідно відрізки і с тобто проходить через три точки і (див. рис. 70).

Підставляючи координати цих точок в рівняння (12.6), отримуємо

Розкривши детермінант, маємо, тобто . або

(12.7)

Рівняння (12.7) називається рівнянням площини у відрізках на осях. Їм зручно користуватися при побудові площини.

Нормальне рівняння площини

Положення площини цілком визначається заданням одиничного вектора , що має напрям перпендикуляра, опущеного на площину з початку координат, і завдовжки цього перпендикуляра (див. рис. 71).

Нехай, , а — кути, утворені одиничним вектором з осями і . Тоді . Візьмемо на площині довільну точку і з'єднаємо її з початком координат. Утворюємо вектор .

При будь-якому положенні точки на площині проекція радіус-вектора на напрям вектора завжди рівно :, тобто або

_(12.8)

Рівняння (12.8) називається нормальним рівнянням площини у векторній формі. Знаючи координати векторів і, рівняння (12.8) перепишемо у вигляді

(12.9)

Рівняння (12.9) називається нормальним рівнянням площини в координатній формі.

Відзначимо, що загальне рівняння площини (12.4) можна привести до нормального рівняння (12.9) так, як це робилося для рівняння прямої на площині. А саме: помножити обидві частини рівняння (12.4) на нормуючий множник , де знак береться протилежним знаку вільного члена загального рівняння площини.

Площина. Основні задачі

Кут між двома площинами. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин

Нехай задано дві площини і :

.

Під кутом між площинами і розуміється один з двогранних кутів, утворених цими площинами.

Кут між нормальними векторами і площин і рівний одному з цих кутів (див. рис. 72). Тому або

Для знаходження гострого кута слід узяти модуль правої частини.

Якщо і площини перпендикулярні (див. рис. 73, а), то такі ж їх нормалі, тобто (і навпаки). Але тоді, тобто Отримана рівність є умова перпендикулярності двох площин і .

Якщо площина і паралельні (див. рис. 73, б), то паралельні і їх нормалі і (і навпаки). Але тоді, як відомо, координати векторів пропорційні: . Це і є умова паралельності площин і .