Умова, при якій дві прямі лежать в одній площині

Нехай прямі і задані канонічними рівняннями

і

Рис. 79.

Їх направляючі вектори відповідно і (див. рис. 79).

Пряма проходить через точку,радіус-вектор якої позначимо через ; пряма проходить через точку, радіус-вектор якої позначимо через . Тоді

Прямі і лежать в одній площині, якщо вектори, і компланарні. Умовою компланарності векторів є рівність нулю їх мішаного добутку: тобто

При виконанні цієї умови прямі і лежать в одній площині, тобто або перетинаються, якщо, або паралельні, якщо .

Пряма і площина в просторі. Основні задачі

Кут між прямою і площиною. Умови паралелі і перпендикулярності прямої і площини

Нехай площина задана рівнянням, а пряма рівняннями

Рис. 80.

Кутом між прямою і площиною називається будь-якій з двох суміжних кутів, утворених прямою і її проекцією на площину. Позначимо через кут між площиною і прямою, а через — кут між векторами і (див. рис. 80). Тоді . При цьому : якщо то якщо то

(12.17)

Гострий кут між площиною і прямою можна знайти, узявши у формулі (12.17) модуль правої частини.

Якщо пряма паралельна площині, то вектори і перпендикулярні (див. рис. 81), а тому, тобто

є умовою паралельності прямої і площини.

Якщо пряма перпендикулярна площині, то вектори і паралельні (див. рис. 82). Тому рівність

є умовами перпендикулярності прямої і площини.

Перетин прямої з площиною. Умова приналежності прямої площини

Нехай вимагається знайти точку перетину прямої

(12.18)

з площиною (12.19)

Для цього треба вирішити систему рівнянь (12.18) і (12.19). Простіше всього це зробити, записавши рівняння прямої (12.18) в параметричному вигляді:

Підставляючи ці вирази для і в рівняння площини (12.19), одержуємо рівняння або (12.20)

Якщо пряма не паралель площині, тобто якщо то з рівності (12.20) знаходимо значення :

Підставляючи знайдене значення t в параметричні рівняння прямої, знайдемо координати точки перетину прямої з площиною. Розглянемо тепер випадок, коли :

а) якщо то пряма паралель площині і перетинати її не буде (рівняння (12.20) рішення не має, оскільки має вигляд, де );

б) якщо то рівняння (12.20) має вигляд йому задовольняє будь-яке значення , будь-яка точка прямої є точкою перетину прямої і площини. Висновок: пряма лежить в площині. Таким чином, одночасне виконання рівності

є умовою приналежності прямої площини.

Циліндричні поверхні

Поверхня, утворена рухом прямої, яка переміщається в просторі, зберігаючи постійний напрям і перетинаючи кожного разу деяку криву, називається циліндричною поверхнею або циліндром. При цьому крива К називається направляючою циліндра, а пряма — його твірної (див. рис. 83).

Розглядатимемо циліндричні поверхні, що направляють яких лежать в одній з координатних площин, а твірні паралелі координатної осі, перпендикулярній цій площині.