3. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.

Нехай інескінченно малі в точціфункції. Якщо, то говорять, щов околі точкиє нескінченно малою вищого порядку порівняно з, і пишуть.

Якщо , де, то функціїіназиваються нескінченно малими одного порядку в околі точки.

Якщо , де,додатне число, то функціяназивається нескінченно малою порядкувідносно нескінченно малої функції.

Якщо , то нескінченно малі функціїіназиваються непорівнянними в околі точки.

Якщо , то функціїіназиваються еквівалентними нескінченно малими в околі точки. У цьому випадку пишуть.

Теорема. Якщо прий існує границя, то існує границя, причому.

Доведення.

Наведена теорема дає можливість у багатьох випадках спрощувати знаходження границь.

Приклад.

При маємоотже,

Теорема. Для того, щоб функції ібули еквівалентними нескінченно малими в околі точки, необхідно й достатньо, щоб їх різницябула в околі точкинескінченно малою вищого порядку по відношенню до кожної з функційта.

Доведення. Нехай в околі точки. Тоді

Отже, необхідність доведено. Доведемо достатність.

Нехай .

Звідси маємо

.

Таким чином, , тобто в околі точки.