4. Критерій Коші збіжності числової послідовності. Фундаментальна послідовність

Означення границі числової послідовності не дає змоги встановлювати збіжність чи розбіжність числової послідовності, якщо не задано значення самої границі. Воно лише дає можливість перевіряти, чи є число границею даної послідовності, чи ні. Отже, виникає необхідність у наявності критерію збіжності числової послідовності, у якому б саме значення границі було відсутнє, тобто щоб цей критерій виявив "внутрішню" структуру збіжної послідовності. Такий критерій був установлений чеським математиком Больцано і французьким математиком Коші. Нині він має назву критерію Коші.

Теорема. Для того, щоб числова послідовність була збіжною, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого числаіснував номертакий, що нерівність

(7)

виконувалася б для всіх , які одночасно задовольняють умову.

Доведення. Необхідність. Нехай послідовність збіжна і. Задамо довільне число. За означенням границі існує такий номер, що

(8)

для всіх . Зрозуміло, що коли, то для всіх такихнерівність (8) виконується. Отже, нехай. Тоді

Необхідність доведено.

Достатність. Нехай для будь-якого існує номер, такий, щодля всіх, які одночасно задовольняють умову. Доведемо, що при цьому послідовністьзбіжна. Нехай заданомувідповідає номер, для якого виконується нерівність (7) для всіх. Зафіксуємо одне із значень. Тоді за умовою (7) виконуються нерівності

тобто всі члени послідовності, починаючи з , знаходяться воколі фіксованої точки. Звідси випливає, що послідовністьобмежена. Отже, згідно з теоремою Больцано-Вейєрштрасса, із неї можна виділити збіжну підпослідовність. Нехай. Тодіє також границею послідовності. Дійсно,можна вибрати настільки великим, щоб одночасно виконувались нерівності. Тоді, поклавши, матимемоі. Звідси одержуємо

для всіх . А це означає, що.

Послідовність називається фундаментальною або послідовністю Коші, якщо для будь-якого числаіснує номертакий, що для всіх, котрі одночасно задовольняють умову, виконується нерівність.

Лекція 8

11. Поняття метричного простору.

12. Повні метричні простори. Теорема Бера.

13. Доповнення простору.

1. Поняття метричного простору

Означення метричного простору. Багато фундаментальних фактів математичного аналізу не пов'язані з алгебраїчною природою дійсних чисел, а спираються лише на поняття відстані.

Узагальненням уявлень про дійсні числа як про множину, в якій уведено відстань між елементами, є поняття метричного простору.

Метричним простором називається пара , що складається з деякої множиниелементів (точок) і відстані– однозначної, невід'ємної функції, визначеної для будь-якої пари, яка задовольняє наступні аксіоми:

1. тоді і тільки тоді, коли ;

2. (аксіома симетрії);

3. (аксіома трикутника).

Сам метричний простір, як правило, позначається .

Множина дійсних чисел із відстанню

утворює метричний простір, що позначається .

Виконання аксіом метричного простору для введеної таким чином відстані випливає із властивостей абсолютної величини дійсного числа.

Відкритою кулею у метричному просторіназивається сукупність точок, які задовольняють умову

.

Відкрита куля радіуса з центромназивається-околом точкиі позначається.

У просторі відкритою кулею з центромє множина точок, для яких виконується нерівність

,

а − околом точкиє множина точок, для яких

.

Точка називається точкою дотику множини , якщо будь-який її окіл містить хоча б одну точку з . Сукупність усіх точок дотику множинипозначаєтьсяі називається замиканням цієї множини.

Точка називається граничною точкою множини, якщо будь-який її окіл містить нескінченно багато точок із.

Гранична точка може належати, а може і не належати .

Точка називається ізольованою точкою множини, якщо вона належитьі існує такий-окіл точки, у якому немає точок із, за винятком самої точки.

Усяка точка дотику множини є або гранична, або ізольована точка цієї множини.

Нехай – послідовність точок у метричному просторі . Говорять, що ця послідовність збігається в точці, якщо таке, що .

Інакше це означення можна сформулювати так: послідовність збігається до, якщо.

Теорема. Щоб точка була точкою дотику множини , необхідно і достатньо, щоб існувала послідовність точок із, яка збігається до.

Нехай – дві множини простору . Множинаназивається щільною у, якщо. Зокрема, множинаназивається скрізь щільною у просторі , якщо.

Наприклад, множина раціональних чисел скрізь щільна на числовій прямій.

Множина називається ніде не щільною, якщо вона не щільна в жодній кулі, тобто в кожній кулііснує інша куля, яка не має зжодної спільної точки.

Простори, в яких є злічена скрізь щільна множина, називаються сепарабельними.

Множина метричного просторуназивається замкнутою, якщо, тобто якщо вона містить усі свої граничні точки.

Відрізок числової прямої є замкнутою множиною.

Теорема. Переріз будь-якого скінченного числа замкнутих множин є замкнутою множиною. Сума будь-якого скінченного числа замкнутих множин є замкнутою множиною.

Точка називається внутрішньою точкою множини, якщо існує окілцієї точки, який цілком міститься в.

Множина, всі точки якої − внутрішні, називається відкритою.

Інтервал числової прямоїє відкритою множиною.

Теорема. Щоб множина була відкрита, необхідно і достатньо, щоб її доповненнядо всього просторубуло замкнутим.

Теорема. Об'єднання (скінченного або нескінченного) числа відкритих множин є відкритою множиною. Переріз (скінченного або нескінченного) числа відкритих множин є відкритою множиною.

Теорема 1.5. Усяка відкрита множина на числовій прямій є сумою (об'єднанням) скінченного або зчисленного числа інтервалів, які попарно не перетинаються (не мають спільних елементів).