2. Односторонні границі

Число називається границею функціїу точцісправа (зліва), якщо для будь-якої збіжної допослідовності, елементи якої більші (менші), відповідна послідовністьзбігається до числа.

Символічно це записують так:

.

Можна дати рівносильне означення односторонніх границь функції "в термінах ".

Число називається границею функції у точці справа (зліва), якщо для довільного числа існує таке, що для всіх, які задовольняють умову, виконується нерівність.

Теорема. Функція має в точціграницю тоді й тільки тоді, коли в цій точці існує як права, так і ліва границя та ці границі рівні між собою. У цьому випадку границя функції дорівнює одностороннім границям.

Доведення. Нехай у точці існують односторонні границі функції і . Тоді, згідно з означенням односторонніх границь, для будь-якого існують числа, такі, що для всіх, які задовольняють умову, і для всіх, котрі задовольняють умову, виконується нерівність. Виберемо. Тоді для всіх, що задовольняють умову, виконуватиметься нерівність. Тобто. З іншого боку, якщо, то в точцііснують односторонні границі й.

3. Границя функції на нескінченності

Число називається границею функціїпри, якщо для будь-якої нескінченно великої послідовностізначень аргументу відповідна послідовністьзначень функції збігається до числа.

Символічно це записують так: .

Число називається границею функціїпри, якщо для будь-якої нескінченно великої послідовності, елементиякої додатні (від'ємні), відповідна послідовністьзначень функції збігається до числа.

Символічно це записують так:

.

Можна дати означення "в термінах ", рівносильні наведеним вище.

4.Теореми про границі функцій

Теорема. Якщо функція має границю в точці , то ця границя єдина.

Доведення. Припустимо, що функція має дві різні границі . Виберемо з області визначення функціїдовільну послідовність, збіжну до. Тоді послідовність, згідно з означенням границі функції, матиме дві різні границі, що неможливо, оскільки будь-яка збіжна послідовність має єдину границю.

Теорема. Якщо функції і мають у точціграниці, тофункції (при ) у точцітакож мають границі, причому

; (3)

; (4)

. (5)

Доведення. Нехай послідовність – довільна збіжна допослідовність значень аргументу функційі. Тоді відповідні послідовностіізбіжні й за властивостями збіжних послідовностей

;

;

(де ).

Отже, згідно з означенням границі функції мають місце співвідношення 3-5.

Теорема . Нехай функції і , визначені в деякому околі точки , крім, можливо, самої точки, мають у точціграниці, й такі, що в околі точки. Тоді.

Доведення. Виберемо в околі точки довільну збіжну допослідовність. Тоді послідовностіізбіжні й. Тому за відповідною властивістю збіжних послідовностей.

Звідси, за означенням границі функції в точці, .

Наслідок. Якщо в деякому околі , крім, можливо, самої точки, виконується нерівністьі функціяу точцімає границю, то.

Теорема 3.5. Нехай функції визначені в деякому околі точки , крім, можливо, самої точки,функції мають у точці границю, рівну, тобто. Нехай, крім того, виконується нерівність. Тоді функціяу точцімає границю, рівну, тобто.

Доведення. Нехай – довільна збіжна допослідовність. Послідовностіівідповідних значень функціїзбіжні, й. Оскільки, то згідно з відповідною властивістю збіжних послідовностей. Отже, за означенням границі функції в точці.

Зауваження. Наведені вище теореми про границі мають місце і для випадків .