3. Елементарні функції.

Основними елементарними функціями називаються:

• стала функція , де

• степенева функція , дедійсне число;

• показникова функція , де;

• логарифмічна функція , де;

• тригонометричні функції ;

• обернені тригонометричні функції

.

Усі функції, які одержують із основних елементарних функцій за допомогою скінченного числа арифметичних дій і суперпозицій, утворюють клас елементарних функцій.

Елементарні функції мають наступну класифікацію.

1. Функція виду

,

де – ціле число,– довільні дійсні числа, називається цілою раціональною функцією або алгебраїчним многочленом степеня. Многочлен першої степеніназивається лінійною функцією.

2. Функція, яка є відношенням двох многочленів

,

називається дробово-раціональною функцією.

3. Функція, яка одержана за допомогою скінченного числа суперпозицій і чотирьох арифметичних дій над степеневими функціями з раціональним показником та яка не є раціональною, називається ірраціональною функцією.

Наприклад, ірраціональними є функції

.

Раціональні й ірраціональні функції відносяться до класу алгебраїчних функцій. Алгебраїчною називається функція , яка є розв'язком рівняння

,

де многочлен від.

Елементарні функції, які не є алгебраїчними, а саме: тригонометричні функції, обернені тригонометричні функції, показникова та логарифмічна функції, називаються трансцендентними.

Тема 3. Границя функції однієї змінної лекція 9

14. Визначення границі функції в точці за Гейне і за Коші.

15. Односторонні границі.

16. Границя функції на нескінченності.

17. Теореми про границі функцій.

1. Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші.

Нехай функція визначена на множиніі точкає граничною точкою множини. Виберемо ізпослідовність точок, відмінних від:збіжну до. Значення функції в точках цієї послідовності також утворюють числову послідовність.

Означення границі функції за Гейне. Число називається границею функціїу точці( або при), якщо для будь-якої збіжної допослідовності значень аргументу, відмінних від, відповідна послідовність значень функції збігається до числа.

Символічно це записують так: .

Означення границі функції за Коші. Нехай функція визначена в деякому околі точки , крім, можливо, самої точки. Число називається границею функції у точці ,якщо для довільного числа існує числотаке, що нерівністьвиконується для всіх, що задовольняють умову.

Означення границі функції за Гейне і за Коші еквівалентні.

Дійсно, нехай згідно з Гейне. Покажемо, що в цьому випадку для довільного числаіснує числотаке, що нерівністьвиконується для всіх, що задовольняють умову, тобто щозгідно з означенням Коші.

Припустимо протилежне. Нехай існує таке, що для довільногоіснує точка, для якої з умовивипливає нерівність. Розглянемо послідовність, де. Виберемо точкитакі, що

(1)

і

. (2)

Оскільки , то, але за нерівністю (2), що суперечить умові, тобто щозгідно з Гейне.

Нехай тепер згідно з Коші. Покажемо, щоі згідно з Гейне.

Отже, нехай для будь-якого існує числотаке, що із нерівностівипливає нерівність. Виберемо довільну послідовність точокзбіжну до. Тоді для значення, відповідного, знайдеться такий номер, що для всіхвиконуватимуться нерівностіі разом із тим. Оскільки вибірбув довільним, то це означає, що для довільної послідовностііз умовивипливає умова, тобто щоза Гейне.

Еквівалентність означень границі функції за Гейне і за Коші дає можливість використовувати будь-яке із них залежно від того, яке є більш зручним для розв'язування тієї чи іншої задачі.