3. Невизначені вирази. Теорема Штольца

Нехай і. Виникає питання, що можна сказати про границю? Виявляється, що ця границя залежно від окремого закону поведінки зміннихтаможе приймати різні значення або взагалі не існувати.

Приклади.

1. Якщо і, то.

2. Якщо і, то.

3. Якщо і, то.

4. Якщо і, тотане існує.

Отже, лише значення границь числових послідовностей ,не дозволяє у розглянутому вище випадку робити висновки про значення границі їх відношення. Для того, щоб схарактеризувати цю особливість, говорять, що за умовиівираз є невизначеністю типу .

Аналогічно невизначеними виразами є:

а) у випадку івиразє невизначеністю типу;

б) у випадку івираз є невизначеністю типу ;

в) у випадку тавиразє невизначеністю типу.

Для визначення границь невизначених виразів типучасто може застосовуватися теорема Штольца, яку ми наведемо без доведення

Теорема. Якщо послідовності такі, що

1) починаючи з деякого номера

2) ;

3) існує

то .

Лекція 6

4. Граничний перехід у нерівностях.

5. Монотонні послідовності.

6. Число е.

1. Граничний перехід у нерівностях

Теорема . Якщо елементи збіжної послідовності , починаючи з деякого номера, задовольняють нерівність, то і границя цієї послідовності задовольняє нерівність.

Доведення. Нехай, починаючи з деякого номера , елементи збіжної послідовностізадовольняють нерівністьі. Припустимо, що. Оскільки, то дляіснує номертакий, що длявиконується нерівність, яка рівносильна нерівності. Тоді із нерівностіодержуємо:, що суперечить умові. Отже,.

Випадок доводиться аналогічно.

Наслідок 1. Якщо елементи збіжних послідовностей і, починаючи з деякого номера, задовольняють нерівність, то.

Нехай, починаючи з деякого номера, виконується нерівність . Тоді для таких. Отже,, а тому. Звідси маємо. Другий випадок установлюється аналогічно.

Теорема. Нехай члени послідовностей ,,, починаючи з деякого номера, задовольняють нерівністьі. Тоді послідовністьзбіжна й.

Доведення. Задамо довільне число . Тоді для заданогознайдеться такий номер, що длявиконуватиметься нерівність, тобто. Для цього жзнайдеться такий номер, щодля, тобто.

Виберемо . Тоді виконуватиметься нерівність

для всіх .

Ураховуючи умову теореми, маємо

або , тобтодля всіх. Звідси випливає, що.

2. Монотонні послідовності

Послідовність називається неспадною ( незростаючою ), якщо виконується нерівністьдля усіх.

Неспадні та незростаючі послідовності називаються монотонними.

Якщо для всіх членів монотонної послідовності виконується строга нерівність, то послідовність називається зростаючою (спадною). Зростаючі та спадні послідовності називаються також строго монотонними.

З означення випливає, що монотонні послідовності обмежені принаймні з однієї сторони: неспадна обмежена знизу, а незростаюча – зверху.

Теорема. Монотонна обмежена послідовність збіжна.

Доведення. Розглянемо випадок неспадної послідовності .

Отже, нехай для усіх виконуються наступні умови:

1. ;

2. існує таке число , що.

Розглянемо числову множину , яка складається з усіх елементів послідовності. За умовою ця множина непорожня і обмежена зверху, а тому має точну верхню межу.

Позначимо . Покажемо, що.

Оскільки - точна верхня межа елементів послідовності , то, згідно з властивістю точної верхньої межі, для будь-якогоіснує номер такий, що . Так як послідовністьнеспадна, то привиконується нерівність. З іншого боку, згідно з означенням точної верхньої межі,для всіх. Таким чином, примаємо нерівність, тобтопри. Отже,.

Для випадку незростаючої послідовності доведення аналогічне.

*** Із теорем 2.5** і 2.8** випливає, що обмеженість монотонної послідовності є необхідною і достатньою умовою її збіжності.