3. Знаходження рішення неоднорідного лінійного рівняння з постійними коефіцієнтами для спеціальної правої частини.

Нижче розглянемо три випадки правої частини лінійного рівняння з постійними коефіцієнтами при яких розвязок рівняння має спеціальний вид. Отже, нехай маємо лінійне рівняння з постійними коефіцієнтами y+y+…+y=f(x) ( - константи).

1. Нехай f(х)=Ps(x)= многочлен порядка.

a) Якщо a≠0, то шукаємо у вигляді = =, де невідомі коефіцієнти які легко знайти якщо підставити у рівняння і прирівняти коефіцієнти при однакових степенях х в лівій і правій частинах.

б) Якщо a= a=…=a=0 і a≠0, то шукаємо у вигляді = (спосіб знаходженнятой же що і ва ).

2. Нехай f(х)=(x).

a) Якщо р не буде коренем характеристичного рівняння , то шукаємо у вигляді = (дерозшукується аналогічно 1).

б) Якщо р - корінь порядка характеристичного рівняння ,то =.

3. Нехай f(x)=(), деP(x), - відомі многочлени порядка не вище ( – найбільший порядок з двох).

а)Якщо не буде коренем характеристичного рівняння, то =, де М(x), - невизначені многочлени порядка S. Коефіцієнти многочленівМ(x), знаходимо підставляючи у рівняння і прирівнюючи коефіцієнти при додатках в лівій і правій частинах.

б) Якщо - корінь порядкахарактеристичного рівняння, то =. ЗнаходженняМ(x) іаналогічно а).

4.Застосування рівнянь у теорії коливань. Резонанс.

Розглянемо процес коливання пружинного маятника масою m, якщо коефіцієнт пружності пружини k. Треба знайти координату маятника х(t), що залежить від часу. З механіки відомо, що в будь-який момент часу на маятник діє дві сили і(сила супротиву), також, тобтох(t) задовольняє рівнянню + =0, або . Характеристичне рівняння має вид , отже загальне рішенняx(t)=ccos+csin==, при ,,.

Зауважимо, що r називають амплітудою коливання, - власною частотою коливання,- початкова фаза коливання. З рішення видно, що власна частота коливанняне залежить від початкових умов, а залежить тільки відk і m. Початкові умови впливають на амплітуду і початкову фазу коливання.

Якщо на маятник діє додаткова сила f(t), то і рівняння прийме вигляд. Розглянемо випадок гармонічного осцилятора , тобто коли, де- константи.

Припустимо,що. Згідно зі сказаним раніше,, де,, що не важко перевірити підставляючив рівняння. Отжеі амплітуда коливання буде зростати з наближенням до (частоти збуджуючої сили до власної частоти маятника).

Якщо розглядати випадок (оскількиi - розв’язок характеристичного рівняння), то загальний розвязок рівняння буде мати вигляд , дедеякі константи. З видух(t) зрозуміло, що амплітуда коливання буде необмежено зростати з перебігом часу. Це явище називають резонансом.