- •С. Колеснік
- •Збірник контрольних робіт. Аналітична геометрія та лінійна
- •Контрольна робота № 1
- •Зразки розв’язання задач контрольної роботи №1
- •Розв’язання
- •Контрольна робота № 2
- •Зразки розв’язання задач контрольної роботи №2
- •Контрольна робота № 3
- •1. Перевірити чи утворюють наступні множини векторні простори над полем дійсних чисел r
- •Зразки розв’язання задач контрольної роботи № 3
- •Розв’язання.Нехай м- множина всіх квадратних матриць порядку n з дійсними елементами. Покажемо, що м-абелева група відносно операції додавання.
- •Контрольна робота № 4
- •Зразки розв’язання задач контрольної роботи № 4 і. Для квадратичної форми fзнайти:
- •Контрольна робота №5.
- •Зразки розв’язання задач контрольної роботи №5
- •Контрольна робота № 6
- •Зразки розв’язання задач контрольної роботи № 6
- •Контрольна робота №7
- •Зразки розв’язання задач контрольної роботи № 7
- •Контрольна робота № 8.
- •Зразки роз`язання задач контрольної роботи № 8
- •Для простого модуля старший коефіцієнт взаємнопростий з ним. Визначимо множник k так, щоб . Матимемо . Домножаючи обидві частини заданої конгруенції на 10 за модулем 13, дістаємо
- •Контрольна робота № 9
- •Зразки розв‘язання задач контрольної роботи № 9
- •Тоді з рівності
- •Додаток: таблиці первісних коренів та індексів
- •Література
- •Методичне видання
Контрольна робота №5.
І. Знайти область розв’язків наступних систем нерівностей:
ІІ. Дана система лінійних нерівностей та функція f:
Дослідити систему лінійних нерівностей на сумісність.
а) за крітерієм Александрова,
б) за крітерієм Чернікова.
Розв’язати систему нерівностей
а) зведенням до системи рівнянь з 7 невідомими,
б) методом послідовного зменшення кількості невідомих.
Знайти мінімальні грані многогранника розв’язків заданої системи лінійних нерівностей.
Сформулювати стандартну та канонічну задачі для данної системи обмежень та цільової функції f.
Розв’язати симплекс - методом канонічну задачу, тобто знайти max (min) функції f на М.
Таблиця параметрів.
Варіант |
A |
b1 |
b2 |
b3 |
C1 |
C2 |
C3 |
f |
1. |
9 |
1 |
3 |
-1 |
-1 |
2 |
-3 |
min |
2. |
10 |
2 |
-2 |
3 |
2 |
-3 |
-1 |
max |
3. |
11 |
3 |
2 |
-2 |
-2 |
1 |
-5 |
min |
4. |
13 |
-1 |
2 |
4 |
-4 |
2 |
-5 |
max |
5. |
12 |
3 |
-1 |
2 |
1 |
-2 |
-3 |
max |
6. |
15 |
-1 |
3 |
1 |
4 |
-5 |
-6 |
min |
7. |
14 |
2 |
2 |
-1 |
2 |
-5 |
-3 |
max |
8. |
13 |
-2 |
2 |
1 |
3 |
-3 |
-2 |
min |
9. |
12 |
-4 |
1 |
3 |
-2 |
-4 |
1 |
max |
10. |
11 |
2 |
-1 |
5 |
3 |
-6 |
-2 |
min |
Зразки розв’язання задач контрольної роботи №5
І. Знайти область розв’язків системи лінійних нерівностей.
Розв’язання. Запишемо дану систему так:
Перша нерівність цієї системи визначає півплощину, розміщену нижче від прямої ; друга нерівність визначає півплощину, розміщену нижче від прямої; третя – півплошину, розміщену вище від прямої;
На малюнку напрям стрілок показує ту півплощину, яка визначаєтся відповідною нерівністю. Областю розв’язків данної системи нерівностей є трикутник АВС. Визначемо координати його вершин. Для цього знаходимо розв’язки таких систем рівнянь:
Розв‘язавши їх, маємо:
А(-3,0); В(0,6); С(4,2);
ІІ. Дана система лінійних нерівностей
і функция .
1.Дослідити систему лінійних нерівностей на сумісність
а)критерієм Александрова
б)критерієм Чернікова
2.Розв’язати систему нерівностей
а)зведенням до системи рівнянь з 7 навідомими, ,;
б)методом послідовного зменшення кількості невідомих
3.Знайти мінімальні грані многогранника розв’язків.
4.Побудувати многогранники М і М+(додатніх розв’язків систем)
5.Сформулювати загальну стандартну та канонічну задачі для заданої системи обмежень та цільвої функції f
6.Розв’язати симплекс-методом канонічну задачу.
Розв’язання
1.
а)запишемо систему нерівностей у вигляді
За критерієм Александрова система лінійних нерівностей несумісна тоді і тільки тоді, коли система лінійних рівнянь
має невід’ємні розв’язки.
Розв’яжемо одержану систему лінійних рівнянь.
отже система лінійних рівнянь сумісна і має єдиний розв’язок.
Розв’язком цієї системи є вектор , тобто розв’язок від’ємний, і тому система лінійних нерівностей сумісна.
б)дослідемо систему лінійних нерівностей на сумісність за крітерієм Чернікова.
Обчислюємо ранг матриці системи лінійних нерівностей:
r=3
Знаходимо відмінні від нуля мінори третього порядку:
;;
Супроводжуючі мінори:
оскількианалогічно
Відношення
Отже, за крітерієм Чернікова система лінійних нерівностей сумісна.
2. а)системі лінійних нерівностей поставимо у відповідність систему лінійних рівнянь:
Розв’яжемо одержану систему лінійних рівнянь. Загальний розв’язок шукаємо у вигляді , де- частинний розв’язок,- загальний розв’язок відповідної однорідної системи лінійних рівнянь.
Система лінійних рівнянь сумісна і має безліч розв’язків (r<n).
Розв‘язуємо систему
Знаходимо частинний розв’язок . Нехай– вільні невідомі. Надамонульових значень, тобто
Тоді
Отже, .
Відповідна однорідна система лінійних рівнянь має вид:
Фундаментальна система розв’язків цієї системи складаєтся з трьох векторів. У просторі R3обираємо базис з векторів
і вільним невідомим послідовно надаємо значень ціого базису.
Нехай
тоді
отже
Нехай тоді
тоді
Загальний розвя’зок однорідної системи рівнянь є лінійна комбінація векторів фундаментальної системи розв’язків, тобто
=
Загальний розв’язок системи неоднорідних рівнянь:
Отже, розв’язком системи лінійних нерівностей є вектор
причому
оскільки
б) Розв’яжемо системи лінійних нерівностей методом послідовного зменшення кількості невідомих.
Запишемо систему у вигляді
Нехай тоді
Нехай тодіотже
Звідси випливає, що вектор (1;4;4,5) є одним з розіязків системи лінійних нерівностей.
З загального розв’язку системи лінійних нерівностей можна одержати розв’язок (1;4;4,5) якщо
3.Знайдемо лінійні грані многогранника розв’язків системи лінійних нерівностей.
Обчислюємо ранг системи нерівностей
Виписуємо з даної системи рангу 3 усі лінійно незалежні підсистеми лінійних нерівностей та замінюємо їх системами рівнянь, що одержуются в результаті заміни в системах нерівностей знаку нерівності на знак рівності.
Одержуємо
Оскільки ранг кожної з систем дорівнює кількості невідомих, то вони всі мають по єдиному розвязку.
Розв’яжемо ці системи. Одержуємо
(-2,8,4); (-2,3,4); (3,3,4) – розв’язки відповідних систем рангуr= 3.
Ці розв’язки задовольняють і системі лінійних нерівностей рангу r=3=n, тому є вершинами многогранника, тобто мінімальними гранями многогранника розв’язків.
4.Сформулюємо стандартну та канонічну задачі для данної системи обмежень та цільової функції f.
Стандартна задача:
Знайти maxфункціїf=3x1-4x2-2x3на множині невід’ємних розвязків системи нерівностей
або
Канонічна задача:
Знайти maxфункціїf=3x1-4x2-2x3на множині невід’ємних розв’язків системи рівнянь
5.Розв’яжемо симплекс-методом канонічну задачу.
Знаходимо будь-який базисний невід’ємний розв’язок системи лінійних рівнянь.
Ранг цієї системи r=4, отже,
Оскільки ранг системи дорівнює 4, то за вільні невідомі можна обрати x1, x6, x7,за основні базисні невідомі -x2, x3, x4, x5.
Нехай x1 =x6 =x7 = 0, тодіx2=3;x3=4;x4=3;x5=2 - невід’ємний розв’язок системи лінійних рівнянь. Виражаємо цільову функціюfчерез вільні невідоміx1, x6, x7, одержуємо
Отже , і система лінійних рівнянь – обмежень рівносильна системі обмежень функції, виражаємо через вільні невідомі:
Складаємо симплекс – таблицю 1.
Базисні невідомі |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
X6 |
X7 |
Вільні члени |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
3 | |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
4 | |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
3 | |
-1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
2 | |
-3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
2 |
-20 |
Оптимального розв’язку немає; в рядкуfє від’ємний коефіцієнт. Переходимо до таблиці 2.
Базисні невідомі |
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
X6 |
X7 |
Вільні члени |
X2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
3 |
X3 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
4 |
X1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
3 |
X5 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
5 |
f |
0 |
0 |
0 |
3 |
0 |
7 |
5 |
-11 |
Оскільки в рядку f таблиці 2 всі коефіцієнти додатні, то оптимальний розв’язок канонічної задачі одержано:
max f = -11при додатньому розв’язку (3,3,4,0,5,0,0) системи.
Отже, отриманий розв’язок стандартної задачі єmax f = -11 при значеннях невідомих системи обмежень (3,3,4).