- •С. Колеснік
- •Збірник контрольних робіт. Аналітична геометрія та лінійна
- •Контрольна робота № 1
- •Зразки розв’язання задач контрольної роботи №1
- •Розв’язання
- •Контрольна робота № 2
- •Зразки розв’язання задач контрольної роботи №2
- •Контрольна робота № 3
- •1. Перевірити чи утворюють наступні множини векторні простори над полем дійсних чисел r
- •Зразки розв’язання задач контрольної роботи № 3
- •Розв’язання.Нехай м- множина всіх квадратних матриць порядку n з дійсними елементами. Покажемо, що м-абелева група відносно операції додавання.
- •Контрольна робота № 4
- •Зразки розв’язання задач контрольної роботи № 4 і. Для квадратичної форми fзнайти:
- •Контрольна робота №5.
- •Зразки розв’язання задач контрольної роботи №5
- •Контрольна робота № 6
- •Зразки розв’язання задач контрольної роботи № 6
- •Контрольна робота №7
- •Зразки розв’язання задач контрольної роботи № 7
- •Контрольна робота № 8.
- •Зразки роз`язання задач контрольної роботи № 8
- •Для простого модуля старший коефіцієнт взаємнопростий з ним. Визначимо множник k так, щоб . Матимемо . Домножаючи обидві частини заданої конгруенції на 10 за модулем 13, дістаємо
- •Контрольна робота № 9
- •Зразки розв‘язання задач контрольної роботи № 9
- •Тоді з рівності
- •Додаток: таблиці первісних коренів та індексів
- •Література
- •Методичне видання
Розв’язання
Дане рівняння визначає еліпсоїд у просторі. Знаходимо його найпростіше рівняння:
Відповідь: .
10.
З’ясувати геометричний зміст рівняння: x2 = 2pz
Розв’язання
Дане рівняння на площині є рівнянням пароболи, симетричної відносно осі. У просторі – це рівняння є рівнянням параболічного циліндру, розташованого вздовж осі.
X Z
X
Контрольна робота № 2
Обчислити вирази
1. ; 3.; 5.
2. 4.; 6.; 10.
7. ; 8.; 9.
Представити у вигляді многочлена першого степеня від тригонометричних функцій кутів, кратних х:
1. sin3x; 2. sin4x; 3. cos5x; 4.cos6x; 5. sin3x·cos5x;
6. 3sin4xcos3x; 7. 5cos3xsin2x; 8. sin7x; 9. cos4xsin3x; 10.sin5x.
Обчислити суми:
cos x + cos 2x+ …+ cos nx; 5. cos+cos+cos+…+cos
sin x + sin 2x + …+ sin nx; 6. sin+sin+sin+…+sin
sin x + 2sin 2x + …+ nsin nx; 7. cos2 x + cos2 2x+ …+ cos2 nx;
cos x +2cos 2x+ …+ ncos nx; 8. sin2 x + sin2 2x + …+ sin2 nx;
9. + cos x + cos 2x+ …+ cos nx; 10. 1+acosφ+a2cos2φ+…+akcoskφ.
1. Знайти суму всіх коренів 6-го степеня з одиниці.
2. Довести, що первісний корінь n-го степеня з одиниці має порядок n.
3. Знайти суму всіх коренів 15-го степеня з одиниці.
4. Знайти суму всіх первісних коренів 10 степеня з одиниці.
5. Знайти суму всіх первісних коренів 15-го степеня з одиниці.
6. Знайти необхідну і достатню умови того, щоб кожен первісний корінь nm-го степеня з одиниці можна було зобразити у вигляді добутку первісних коренів n-го і m-го степенів з одиниці.
7. Знаючи, що є одним із значень, знайти всі значення.
8. Знаючи, що 2+і є одним із значень , знайти всі значення.
9. Знайти суму всіх коренів n-го степеня з одиниці.
10. Знайти суму всіх первісних коренів 24-го степеня з одиниці.
Дана система лінійних неоднорідних рівнянь:
(*)
Знайти ранг матриці А системи (*) А=.
Дослідити систему на сумісність.
Обчислити визначник матриці А способом:
а) зведенням до трикутного вигляду;
б) розкладанням за елементами першого рядка.
Розв'язати систему рівнянь методом Гауса, методом Крамера;
Знайти матрицю, обернену до матриці А системи двома способами:
а) за допомогою матриці А*- приєднаної до матриці А:
б) за допомогою комбінованої матриці: (А/Е)~(Е/A-1).
6) Записати систему (*) в матричному вигляді та розв’язати її в матричному вигляді.
Таблиця значень параметрів системи (*)
Варіант параметр |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
a |
2 |
1 |
3 |
4 |
3 |
1 |
0 |
5 |
5 |
2 |
b |
3 |
2 |
4 |
5 |
4 |
2 |
1 |
6 |
6 |
3 |
c |
2 |
1 |
-4 |
-3 |
3 |
3 |
0 |
5 |
-5 |
-2 |
e |
-2 |
3 |
5 |
-4 |
-2 |
-2 |
1 |
-4 |
6 |
3 |
f |
2 |
1 |
1 |
1 |
3 |
4 |
0 |
5 |
-5 |
3 |
d |
-1 |
-2 |
-2 |
1 |
0 |
1 |
-3 |
2 |
-8 |
-1 |
VI. За допомогою теореми про накладання розв’язків знайти загальний розв’язок системи лінійних рівнянь (*).
(*)
Таблиця значень параметрів системи (*)
Варіант параметр |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
m |
7 |
6 |
5 |
6 |
4 |
5 |
3 |
5 |
1 |
8 |
n |
-1 |
-3 |
0 |
2 |
-2 |
-5 |
1 |
5 |
-2 |
1 |