- •С. Колеснік
- •Збірник контрольних робіт. Аналітична геометрія та лінійна
- •Контрольна робота № 1
- •Зразки розв’язання задач контрольної роботи №1
- •Розв’язання
- •Контрольна робота № 2
- •Зразки розв’язання задач контрольної роботи №2
- •Контрольна робота № 3
- •1. Перевірити чи утворюють наступні множини векторні простори над полем дійсних чисел r
- •Зразки розв’язання задач контрольної роботи № 3
- •Розв’язання.Нехай м- множина всіх квадратних матриць порядку n з дійсними елементами. Покажемо, що м-абелева група відносно операції додавання.
- •Контрольна робота № 4
- •Зразки розв’язання задач контрольної роботи № 4 і. Для квадратичної форми fзнайти:
- •Контрольна робота №5.
- •Зразки розв’язання задач контрольної роботи №5
- •Контрольна робота № 6
- •Зразки розв’язання задач контрольної роботи № 6
- •Контрольна робота №7
- •Зразки розв’язання задач контрольної роботи № 7
- •Контрольна робота № 8.
- •Зразки роз`язання задач контрольної роботи № 8
- •Для простого модуля старший коефіцієнт взаємнопростий з ним. Визначимо множник k так, щоб . Матимемо . Домножаючи обидві частини заданої конгруенції на 10 за модулем 13, дістаємо
- •Контрольна робота № 9
- •Зразки розв‘язання задач контрольної роботи № 9
- •Тоді з рівності
- •Додаток: таблиці первісних коренів та індексів
- •Література
- •Методичне видання
Контрольна робота №7
Варіант 1.
Знайти усі натуральні числа n, для яких число n2+1 ділиться на n+1.
Довести, що сума квадратів двох непарний чисел не може бути квадратом цілого числа.
Знайти всі значення простого числа р, якщо 4p2+1 і 6p2+1 прості числа.
Знайти натуральні числа a і b, якщо (a,b)=24; [a,b]=2496.
Знайти кількість натуральних чисел, менших за число 1476 та маючих з ним НСД число 41.
Знайти остачу від ділення 109348 на 14.
Скількома нулями закінчується число n!, якщо n=50.
Розв’язати конгруенцію 20x 10(mod 25).
Розв’язати у цілих числах рівняння 45x-37y=25.
Скоротити дріб : .
Ірраціональне число розкласти в ланцюговий дріб і обчислити з точністю до 0,0001 значення.
Варіант 2.
Довести, що квадрат від непарного числа, відмінного від нуля, при діленні на 8 дає остачу 1.
Довести, що для кожного натурального числа n число 3(15+25+...+n5) ділиться на число (13+23+...+n3).
Знайти всі прості числа, які є одночасно сумами і різницями простих чисел.
Знайти натуральні числа a і b, якщо a+b=667; [a,b]=120(a,b).
Знайти кількість натуральних чисел, які менші від числа 300 і мають з ним НСД число 20.
Знайти остачу від ділення 439291 на 60.
Скількома нулями закінчується число n!, якщо n=123.
Розв’язати конгруенцію 15x 3(mod 45).
Розв’язати у цілих числах рівняння 81x-48y=33.
Скоротити дріб : .
Розкласти в ланцюговий дріб і обчислити з точністю до 0,0001 значення .
Варіант 3.
Довести, що сума кубів трьох послідовних цілих чисел ділиться на 9.
Показати, що якщо mn+pq ділиться на m-p, то і mq+np ділиться на m-p, де m,n,p,q – цілі числа.
Знайти значення простого числа р, якщо відомо, що p+10 і p+14 - прості числа.
Знайти натуральні числа a і b, якщо a∙b=720; (a,b)=4.
Знайти кількість натуральних чисел, які менші від числа 1665 і мають з ним НСД число 37.
Знайти останні три цифри числа 243402.
Знайти число N, добуток усіх дільників якого дорівнює 5832.
Розв’язати конгруенцію 78x 42(mod 51).
Розв’язати у цілих числах рівняння 17x-25y=117.
Скоротити дріб : .
Розкласти в ланцюговий дріб і обчислити з точністю до 0,0001 значення .
Варіант 4.
Довести, що сума квадратів п’яти послідовних цілих чисел не може бути квадратом цілого числа.
Довести, що якщо a2+ b2 ділиться на 7, де a і b –цілі числа, то а ділиться на 7 і b ділиться на 7.
Довести, що три числа а, a+m, a+n не можуть бути одночасно простими, якщо a>3 і натуральні числа m і n дають при діленні на 3 остачі, відповідно рівні 1 і 2.
Знайти натуральні числа a і b, якщо a+b=144; (a,b)=24.
Знайти кількість натуральних чисел, які менші від числа 1476 і мають з ним НСД число 41.
Скількома нулями закінчується число 100!?
Знайти x, якщо (х)=12.
Розв’язати конгруенцію 39x 84(mod 93).
Розв’язати у цілих числах рівняння 43x-37y=21.
Скоротити дріб : .
Розкласти в ланцюговий дріб і обчислити з точністю до 0,0001 значення .
Варіант 5.
Довести, що якщо чисельник дробу є різниця квадратів двох непарних чисел, а знаменник - сума квадратів тих же чисел, то такий дріб завжди скоротний на 2, але нескоротний на 4.
Довести, що сума кубів трьох послідовних цілих чисел ділиться на 9.
Довести, що з усіх цілих чисел виду 2р+1, де р- просте число, тільки одне число є точним кубом.
Сума двох чисел 667, а відношення НСК до їх НСД дорівнює 120.Занйти ці числа.
Знайти кількість натуральних чисел, які менші від числа 975 і мають з ним НСД число 13.
Знайти останні дві цифри числа 2100.
Знайти натуральне число n, якщо n ділиться тільки на два простих числа і τ(n)=6, a σ(n)=42.
Розв’язати конгруенцію 12x 51(mod 39).
Розв’язати у цілих числах рівняння 17x-16y=31.
Скоротити дріб : .
Розкласти в ланцюговий дріб і обчислити з точністю до 0,0001 значення .
Варіант 6.
Знайти чотиризначне число, яке є точним квадратом, у якого цифра тисяч однакова з цифрою десятків, а цифра сотень на 1 більша за цифру одиниць.
Довести, що числа виду 3k+2, kZ не можуть бути квадратами цілих чисел.
Довести, що існує нескінченна множина простих чисел виду р=6k-1.
Знайти натуральні числа a і b, якщо , (a,b)=45.
Знайти кількість натуральних чисел, які менші від числа 1072 і мають з ним НСД число 8.
Знайти остачу від ділення 439291 на 60.
Знайти число N, добуток усіх дільників якого дорівнює 330540.
Розв’язати конгруенцію 20x 10(mod 25).
Розв’язати у цілих числах рівняння 53x-17y=25.
Скоротити дріб : .
Розкласти в ланцюговий дріб і обчислити з точністю до 0,0001 значення .
Варіант 7.
Довести, що (n3-1)7, або (n3+1)7, якщо n не ділиться на 7, nZ.
Довести, що при натуральному n сума не може біти цілим числом.
Довести, що якщо p і q - прості числа, більші за 3, то p2-q2 кратне 24.
Знайти натуральні числа a і b, якщо [a,b]=975.
Знайти кількість натуральних чисел, які менші від числа 2476 і мають з ним НСД число 619.
Знайти остачу від ділення 9341 на 111.
Знайти натуральне число n, якщо n ділиться тільки на два простих числа і τ(n)=12, a σ(n)=465.
Розв’язати конгруенцію 5x 26(mod 12).
Розв’язати в цілих числах рівняння 23x-15y=19.
Скоротити дріб : .
Розкласти в ланцюговий дріб і обчислити з точністю до 0,0001 значення .
Варіант 8.
Знайти усі натуральні числа n, для яких число n2+1 ділиться на n+1.
Довести, що для кожного натурального числа n число 3(15+25+...+n5) ділиться на число (13+23+...+n3).
Знайти значення простого числа р, якщо p+10 і p+14 - прості числа.
Знайти натуральні числа a і b, якщо , (a,b)=28.
Знайти кількість натуральних чисел, які менші від числа 975 і мають з ним НСД число 13.
Знайти остачу від ділення 439291 на 60.
Розв’язати конгруенцію 29x 3(mod 12).
Знайти число N, добуток усіх дільників якого дорівнює 5832.
Розв’язати в цілих числах рівняння 41x-114y=5.
Скоротити дріб : .
Розкласти в ланцюговий дріб і обчислити з точністю до 0,0001 значення .
Варіант 9.
Довести, що якщо mn+pq ділиться на m-p, то і mq+np ділиться на m-p, де m,n,p,q – цілі числа.
Довести, що сума квадратів двох послідовних цілих чисел, при діленні на 4 дає остачу 1.
Знайти всі прості числа, які є одночасно сумами і різницями простих чисел.
Знайти натуральні числа a і b, якщо (a,b)=24; [a,b]=2496.
Знайти кількість натуральних чисел, менших від числа 1072 і мають з ним НСД число 8.
Знайти натуральне число n, якщо n=pq, де p і q - різні прості числа, такі, що p-q=2 і φ(n)=120.
Розв’язати конгруенцію 16x 50(mod 23).
Розв’язати в цілих числах рівняння 47x-105y=4.
Знайти дві останні цифри числа 2153.
Скоротити дріб : .
Розкласти в ланцюговий дріб і обчислити з точністю до 0,0001 значення .
Варіант 10.
Довести, що (22n-6)10, для будь-якого натурального числа n≥2.
Нехай p – просте число і р≥5. Довести, що (р2-1)24.
Довести, що сума квадратів двох непарних чисел не може бути квадратом цілого числа.
Знайти натуральні числа a і b, якщо ab=168; (a,b)=14.
Знайти кількість натуральних чисел, які менші від числа 975 і мають з ним НСД число 13.
Знайти кількість нулів, якими закінчується число 295!
Знайти натуральне число n, якщо n ділиться на 12 і τ(n)=14.
Розв’язати конгруенцію 15x 3(mod 45).
Розв’язати в цілих числах рівняння 17x-16y=31.
Скоротити дріб : .
Розкласти в ланцюговий дріб і обчислити з точністю до 0,0001 значення .