21. Отношение делимости на множестве натуральных чисел, его св-ва.

Определение: Натур. Число а : на N ч. в когда если остаток от деления ч. а на ч. в равен «0». Св-ва: 1) отно-е дел-ти на мн-ве N-чисел рефлексивно (в отн-и дел-ти с самим собой). 2) отнош-е дел-ти на мн-ве Nчисел антиссиметрично. 3) Транзитивность ( а,в,с принад-т N), а:в, в:с=»а:с 4) отнош-е дел-ти на мн-ве Nч. Явл.отнош-е нестрогого частичного порядка. Теорема делимости суммы: Если кажд. Слог-ое суммы : на N ч. суммы, то и сумма : на это число. а:с, в:с=»(а+в):с Теорема 2: Если 1-ое слогаемое суммы не делится на N ч. с, то сумма этих чисел не : на ч. с.Теорема о делимости разности: если умень-ое а и вычитаемое в : на данное ч. с и ч. а >ч. в, то разность ч-л а и в : на с. Теорема о делимости произведения: если хотябы 1 из множ-ей произ-я : на данное ч. с, то произ-е : на это число. Теорема 2: если в произ-и а*в 2-ух множ-ей 1-н : на ч. с, а 2 на д, то произ-е ав:сд.

22. Система счисления- наз-ют совокупность приемов для записи наименования чисел, а также для выполнения дей-й над ними. В 10-ой си-ме счил-я исп-ся для записи чисел 10 знаков(цифр)0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, а из них образуются конечне последо-ти , кот. яв-ся краткими записями чисел.(5781=5тыс+7сот+8дес+1ед) Определ: 10-ой записью нат. числа в виде х=аn*10n+аn-1+..а0 (x=an an-1….a2 a1 a2) принимают значение от 0 до 9 и аn=/0 Числа(1,10,102… 10n) наз-ся разр-ми ед-ми 1-го 2-го и т.д. n+1 разряда. Причем 10 ед-ц одного разряда составляют одну ед-цу след-го высшего разряда. т.е. отношение соседних разрядов=10-основание системы счисл..В записи числа соед-ют в одну группу и наз-ют 1-ым классом. В 1-й класс входят (ед.,дес.,сотни). В 4-й 5-й и 6-й разряды в записи числа образуют 2-ой класс тысяч в него вход. (ед. тыс., дес. тыс., сотни тыс.). Затем идет 3-й класс (миллионов) и т.д. Основанием с-мы счисл-я м/б любое нат. число р≥2. Если р=2, то с-ма наз-ся двойной, если р=3, тройной и т.д. Перех. хрх10(1102, 2=1*2,3+ 1*2,2+1= 8+4+1=13.)перех.х10х,р(1437/7столбик. с остатком и т. Д.) Дей-е над числами в с-ме счисл. с основ-ем р(р=/10) вып-ся по тем же правилам, что и в 10-ой с-ме счисл. Поэтому расс-м вып-е дей-й над ц.н.ч. 10-ой с-ме счисл. Для сложения однозн. чисел состав-ся таблицы «+» или польз-ся и при слож-и многозн-х чисел. Многознач-е числа склад-ся столбиком. В общем виде алгоритм «+»-я многознач. чисел формир-ся так: 1) запис-ем второе слогаемое под 1-ым так, чтобы соотв-е разряды нах-сь др. под другом. 2) складываем цифры разряда ед-ц, 3) если сумма ед-ц >, то ее представляем в виде 10+Со, гдеСо- однозн. Число,записыв С0 в разряд ед-ц ответа и прибавляем 1 цифре десятков первого слогаемого.4) повторяем те же действия с сотнями, дес-ми. Процесс зак-ем когда окажутся сложными цифры старших разрядов.

23. Пол-ые рацион-ые числа Одному и тому же отрезку можно поставить в соот-ии бесконечное множ-во дробей, выраж-х его длину при выбранной ед-це е, но длина отр-ка должна предст-ться един-м числом, поэтому равные дроби считают разл-ми записями одного и того же числа, а само это число наз-ют «+»-ым рац-ым числом. Опре-е:Полож-ым рац-ым числом наз-ся класс равных дробей, а каждая дробь принадлеж-ая этому классу есть запись этого рац-го числа. Теорема: для любого +рациональн. числа сущ. одна и только одна несократим. дробь явл.-ся записью этого числа. Числа кот. дополняют мн-во нат. чисел,до множ. пол.рац. чисел назыв. Дробью числа. Законы сложения: 1) Камутат( а, в € Q+) а+в=в+а Док-во: а=m/n, в=р/n :а+в=m/n+p/n=определ. суммы= m+p/n=коммут закон для натур чисел= р+м/n= p/n+m/n=в+а2) Ассоциат ( а, в, с € Q+)(а+в)+с=а+(в+с) Док-во: (а+в)+с= а+(в+с) :а=m/n, в=р/ n, с=q/n (а+в)+с=(m/n+p/n)+q/n предел. суммы = m+p/n+q/n опред. суммы= (m+p)+q /n ассоц. закон чисел для натуральн. чисел= m+(p+q)/n= m/n+(p+q)/n=m/n+(p/n+q/n)=a+(в+с)Законы умнож: 1) Камутат( а, в € Q+) а*в=в*а Док-во: так же как и при+2)Ассоциат ( а, в, с € Q+) а*(в*с)=(а*в)*с Док-во:3) Дистрибутй(распределительный) ( а, в,с € Q₊) а*(в+с)=ав+ас Док-во:а=m/n, p/n, c=q/r (а+в)с=( m/n+p/n*q/r=опредл.слож. (m+p)/n*q/r= опредл. умн. (m+p)*q/nr дистриб. закон для натур. чисел=(mq+pq)/nr=mq/nr+pq/nr=m/n*q/r+p/n*q/r=ac+вс

24. Положительные действите числа.Понятие- п.д.ч. бесконечные 10-ые дроби, сост. из положит-х рац-х и иррац-х чисел. Иррац-е – беск. 10-е непериодич-ие дроби. При выполн-и дей-й над R+ впол-ют дейс-я их приближ-ми знач. Прибл-ым знач. R+ по недостатку с точностью до 1/10R,наз. число, получ-ое из данного если отбросить все его цифры, стоящие справа от R-го 10-го знака. Чтобы получить приближ-ое знач-е R+ по избытку с точностью до 1/10r, то необ-мо записать его приближ-ое знач-е по недостатку с той же точностью и послед. цифру получаемой записи увеличить на 1-цу. Для произ-го N-го числа а=n,n1,n2,……. Будем обозначать через аr приближ-ое значение по недостатку с точностью до 1/10R, а через аR приближ-ое значение по избытку с той же точностью.ЗаконыСлож-я Умнож-я

1)коммутативный(переместительный)

а+в=в+а а*в=в*а

2) ассоциативный(сочетательный)

а+(в+с)=(а+в)+с а*(в*с)=(а*в)*с

3)дистрибутивный

25.Велич.-особые св-ва реальных объектов или явлений. (св-во предметов имеет продяженность наз. длиной.).В матем. св-во предметов кот. можно характериз. определенным способом с помощью мн действит. чисел наз. велич.. Само +действит число-значение величины, а процесс с помощью ко-го данному св-ву ставиться в соответствии с некот.+дейст. число измерением велечины. Пусть М мн объектов обладающ. некот-ми св-вами Р. Пусть на мн М: 1)определ. отношен. эквивал-сти относительно св-ва Р;2)В некот. элем. е выбран в качестве единицы; 3)для любых элемен. а и в мн М определена операция сложения а+в=с(с состоит из а и в) . Опред.:Св-во Р назыв. Аддитивно-сколярной велеч, если сущест. такое отображен. f мн М на мн R+положит. рацион. число удолетвор. след. аксиомам. Сущ. элем. е€ М кот. соответствует: 1)f(е)=1( е-эталон измер-я велечины) ;2)если а и в элем. мн М эквивал-ые другому относительно св-ва Р то f(а)=f(в).3)Если на мн М элем. с состоит из элем. а и в то f(с)=f(а) +f(в); 4) если на мн М определены отображ. f1 и f2 удолетвор. Св-ву 1-3 то сущест. такое положит. действит. число К что для любого элем-та х€М выполн. равенство f2(х)=К*f1(х). Отображ. F в этом случаи назыв. измерением велечины Р, а +действит числа f(а), f(в), f(с) мера величины или ее значения.1-я аксиома-гарантирует сущ-ние хотя бы одной единицы измерения величины. 2-я акс. –утверждает что эквивалент.(равные элем. имеют один. меры). 3-я акс. Говорит об аддитивности мн М т. е. определена опирация сложения и выполн. усл.: если элем. с равен сумме элементов а и в то его мера равна сумме мер слогаемых. Благодаря этому св-ву подобные велечины назыв. аддитивными. Столярными они вполне определ-ся. одним числовым значением, Кроме сколярных велечин рассматрив. еще и векторные велеч. для определ. векторной велич. необх. Указать не только ее численное знач, но и направление. (явл сила, напряжение электрич. тока). Из 4-ой акс.-любые 2 опирации измер. велич. дают результаты отлич-ся друг от друга только постоянным множителем Велич имеют св-ма:1)любые две велич любого рода сравнимы: для любых величин а,в справедливо одно и только отн. а=в, а>в, а<в;-велич. Одного рода м/складывать, в результате получ. велич. того же рода;- велич. умн. на действит. число, получим велич. того же рода в=х*а.;-величины одного рода вычит. определ разность велич. через сумму: разность велич. через сумму: разность величин а и в назыв. такая велич. с равная а+в. . Сравнивая вел-ны непоср-но м/устан-ть их рав-во и нерав-во, чтобы получить более точный рез-ат сравнения необ-мо велич. измерить, измер. заключ. в срав-и вел-ны с некот. вел-ой того же рода, принятой за 1-цу измерения. Процесс срав-я зависит от рода рассм-х величин. Каким бы ни был это процесс в рез-те измер-я вел-на пол-ет опред-ое числит-ое зн-е при выбранной един-це. Если дана вел-на а и выбра 1-ца вел-ны е, то в рез-те измер-я величины а находят такое дей-ое число х, что а=хе. Число х- назыв. числ-ым зн-ем вел-ны а, при ед-це вел-ны е и запис-ют в сим-ой форме: х=fe(a) или х=mе(а).Св-ва измер-я вел-н:1) если вел-ны а и в измерены при помощи 1-цы вел-ны е, то отнош-е между ве-ми а и в будут такими же как и отн. между их числ-ми зн-ми и наоборот. а=в «=» fe(a) =fe(в); а>в «=» fe(a)>fe(в): а<в «=» fe(a)<fe(в)2) если вел-ны а и в измерены при помощи ед-цы е, чтобы найти числ-ое зн-е суммы вел-ны а+в, достат-но сложить числ-е зн-я вел-н а и в. а+в=с «=»fe(c)=fe(a)+fe(в). 3) если вел-ны а и в таковы что в=х*а, зде х +действ. число Х(€) , а вел-на а измер-на при помощи 1-цы вел-ны е, то чтобы найти числ-ое зн-е вел-ны в при ед-це е дост-но число х умно-ть на числ-ое зн-е вел-ны а.4)если массы 2-х тел таковы что а=5кг,а=3кг,то можно утвердить а>в т. к. 5>3