51)Сложение гармонических колебаний одинаковой частоты и направления. Векторная диаграмма.

На практике часто приходится иметь дело с колебаниями одинаковой частоты. Любые два таких колебания можно представить в виде:

y₁ = A₁ sin (ωt + φ₁) ;   y₂ = A₂ sin (ωt + φ₂) .

Особый интерес представляет случай, когда начальная фаза первого колебания равна 0,   а   начальная  фаза   второго   колебания равна ^π/₂.    Тогда   y₁ = A₁ sin ωt ;   y₂ = A₂ sin (ωt + ^π/₂)  . Сумма таких гармонических колебаний равна:

A₁ sin ωt   + A₂ cos ωt  =  • sin (ωt + ) (1)

где угол φ определяется из условий

             (2)

Формула A₁ sin ωt   + A₂ cos ωt  =  • sin (ωt + ) показывает, что если два гармонических колебания имеют   одинаковую частоту и фазы 0 и ^π/₂, то их сумма есть  гармоническое колебание той же частоты.

Возможны случаи, когда тело участвует в двух и более колебаниях, которые

происходят вдоль одного или разных направлений.Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и частоты, которые происходят с некоторой разностью фаз и имеют разные амплитуды. Смещение x от положения равновесия колеблющегося тела будет равно сумме смещений x₁ и x₂:

x₁=A₁cos(ωₒt+αₒ₁),

x₂=A₂cos(ωₒt+αₒ₂).

Векторная диаграмма — графическое изображение меняющихся по закону синуса (косинуса) величин и соотношений между ними при помощи направленных отрезков — векторов.

52)Сложение гармонических колебаний разной частоты. Биения.

Рассмотрим сложение колебаний, совершаемых в одном направлении. Пусть осциллятор совершает два одновременных колебания в одном направлении и одинаковой частоты ω₀:

x₁=A₁cos(ω₀t+a₁) и x₂=A₂cos(ω₀t+a₂). 

При этом суммарное колебание координаты x(t) равно x = x₁ + x₂. Результирующее колебание также можно записать в виде: x(t)=x₁+x₂= = Acos(ω₀t+a). Частота результирующего колебания равна частоте складываемых колебаний, т. е. результирующее колебание также гармоническое. Амплитуда результирующего колебания

(1),

а новую начальную фазу определить так:

(2).

Из формулы (1) следует, что амплитуда результирующего колебания существенно зависит от значения разности фаз начальных колебаний. Если разность фаз a₁–a₂=0, колебания находятся в фазе, и амплитуды A₁ и A₂ складываются A = A₁ + A₂. Если же разность фаз равна ±p, колебания находятся в противофазе, т.е. амплитуда результирующего колебания A = |A₁ – A₂|.

Биения – периодические изменения амплитуды колебаний, возникающее при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами.

Биения звука можно слышать при настройке музыкальных инструментов, например, струнных по камертону. Если частота струны незначительно отличается от частоты камертона, то слышно, что звук пульсирует — это и есть биения.

53)Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.

Найдем результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты ω, которые происходят во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Начало отсчета для простоты выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем это в виде   (1)  где α — разность фаз обоих колебаний, А и В равны амплитудам складываемых колебаний. Уравнение траектории результирующего колебания определим исключением из формул (1) времени t. Записывая складываемые колебания как      и заменяя во втором уравнении на и на , найдем после несложных преобразований уравнение эллипса, у которого оси ориентированы произвольно относительно координатных осей:   (2)  Поскольку траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными. 

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний имеют различные значения, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, которая совершает одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу.