9.5. Загальне поняття про області стійкості

Застосування критеріїв стійкості дозволяє встановити факт стійкості або нестійкості системи, всі параметри якої задані. Проте часто при проектуванні і наладці систем виникає більш загальне завдання аналізу стійкості - визначення допустимих (по умові стійкості) меж зміни деяких параметрів системи. В якості варійованих параметрах зазвичай виступають коефіцієнти передачі і постійні часу керуючого пристрою, які можна цілеспрямовано змінювати при настройці системи. Іноді допустимі межі зміни визначають і для параметрів об'єкту (якщо останні змінюються при роботі системи в процесі експлуатації). Допустимі межі варіювання параметрів системи можна визначити шляхом побудови областей стійкості.

Областю стійкості називають область в просторі варійованих параметрів, кожній точці якої відповідає тільки ліві корені характеристичного рівняння. Область стійкості виділяє зі всіх можливих значень варійованих параметрів лише ті значення, при яких система стійка. Поверхня, що обмежує область стійкості називається межею області стійкості.

На рисунку показана область стійкості, побудована в просторі двох коефіцієнтів характеристичного рівняння a_i і a_k. Кожній точці, що знаходиться нижче заштрихованої кривої (точка A’), відповідає тільки ліві корені, наприклад p₁’ и p₂’. Будь якій крапці, що знаходиться вище за криву (наприклад точка A”) обов'язково відповідає хоч би один дійсний або пара комплексних коренів, розташованого справа (корені p₁”’ и p₂”’).

Межею області стійкості в даному прикладі є заштрихована крива. Кожній точці цієї кривої (наприклад, A”) відповідає пара чисто уявного коріння (точки p1” і p2”).

Межа області стійкості в принципі може бути знайдена шляхом багатократного застосування одного з критеріїв стійкості, при різних значеннях варійованих параметрів. Проте ефективнішим способом відшукання меж областей стійкості є метод D-разбиения.

Метод D-розбиття.

Нехай система описується характеристичним рівнянням:

а₀pⁿ + а₁p^n-1 + а₂p^n-2 +…+ a_n = 0.

Розташування всіх n коренів характеристичного рівняння на комплексній площині  - j залежить від значень коефіцієнтів a₀, a₁, a₂,…, a_n. У загальному випадку в просторі варійованих параметрів (коефіцієнтів) існують такі значення коефіцієнтів, при якому l корені розташовані справа, а (n - l) кореня - зліва від уявної осі j. Сукупність всіх таких значень утворює в просторі коефіцієнтів область, яку можна позначити D (n–l; l). Існують області з іншим розподілом коренів:

D (n–l – 1; l + 1)

D (n–l – 2; l + 2)

Область D (n; 0) є областю стійкості. Процес побудови в просторі параметрів (або коефіцієнтів) областей з різним розподілом коренів називається D-розбиттям. Лінії, що розмежовують ці області називаються кривими D-розбиття.

Перехід з однієї області в іншу область простору коефіцієнтів відповідає переходу одного дійсного або пари комплексних коренів через уявну вісь jβ. Отже, кожній точці, що знаходиться на межі між двома областями, відповідають або нульовий корінь р = 0, або пара чисто уявних коренів р = ± jβ. Тому криву D-розбиття можна розглядати як відображення уявної осі площини коріння. Вказана особливість кривих D-розбиття використовується при відшуканні їх рівнянь. Для цього в характеристичне рівняння підставляють р = jβ або р = jω і розв’язують рівняння щодо варійованих параметрів. Сукупність значень варійованих параметрів, відповідних всім можливим значенням ω (від -∞ до +∞), дає всі точки кривої D-розбиття. Виділення області D (п; 0) серед решти областей проводять за допомогою спеціальної процедури - штрихування кривих D-розбиття..

Побудова області стійкості по одному параметру.

Хай варійований параметр  входить в характеристичне рівняння системи лінійно:

F(p) = A(p) + B(p) = 0,

A(p) та B(p) – степені поліноми від p.

Підставляючи в це рівняння p = j і розв’язуючи його щодо параметра  отримаємо

При зміні  від 0 до  отримуємо в системі координат P(w) – jQ(w) криву D-розбиття.

Оскільки складова P() завжди парна, а Q() - непарна функція змінної , то крива D-розбиття завжди симетрична щодо дійсної осі P(). Тому при побудові області стійкості досить знайти лише одну гілку кривої D-розбиття, відповідну, наприклад, позитивним значенням  а другу гілку можна нанести як дзеркальне відображення першої.

Крива D-розбиття ділить площину параметра  на декілька областей, відповідних різним варіантам розташування кореня. Виділити з цих областей область стійкості D(n; 0) можна за допомогою штрихування. Правило штрихування засноване на тому, що крива D-розбиття є відображенням уявної осі площини коренів. У системі координат -j область стійкості знаходиться зліва від уявної осі j, і вісь прийнято штрихувати зліва при русі уздовж осі від - до +. У теорії функцій комплексної змінної доведено, що в площині варійованого параметра область стійкості також знаходиться зліва від кривій D-розбиття. Відповідно криву D-розбиття також штрихують зліва при русі уподовж кривої від - до +.

Після нанесення штрихування виявляють область з найбільшим числом лівих коренів. При цьому враховують, що кожному переходу із заштрихованого боку кривої D-розбиття на не заштриховану сторону (див. рис. стрілка 1) відповідає перехід одного кореня з лівої напівплощини в праву, а перетину кривої D-разбиения у зворотному напрямі (див. рис. стрілка 2) відповідає перехід одного кореня з правої напівплощини в ліву. Переходячи послідовно з однієї області в іншу, можна виявити область з найбільшим числом лівих коренів [див. рис. область D(п; 0)]. Після цього за допомогою одного з критеріїв необхідно перевірити, чи є виявлена область областю стійкості, тобто перевірити, чи всі коріння ліві.