9.4. Критерій Найквіста

Основні переваги критерію Найквіста:

1. Основна відмінність і гідність даного критерію від критеріїв Гурвіца, Рауса і Міхайлова в тому, що критерій Найквіста дозволяє судити про стійкість замкнутої системи по амплитудно-фазовій характеристиці розімкненого контура системи.

2. Критерій застосовується в тих випадках, коли диференціальні рівняння системи або окремих її ланок невідомі, але відомі частотні характеристики, отримані, наприклад, експериментально.

3. Використання критерію не так різко ускладнюється при збільшенні порядку характеристичного рівняння, як це має місце при застосуванні алгебраічних критеріїв.

4. Критерій Найквіста ще в більшому ступені, чим критерій Гурвіца, дозволяє безпосередньо встановити вплив на стійкість системи різних її ланок.

5. Критерій дає уявлення про ступінь стійкості системи і показує можливі шляхи її поліпшення, якщо в цьому є необхідність.

6. Критерій дозволяє пов'язати дослідження стійкості з подальшим аналізом якості як в сталому, так і в перехідному режимах.

При аналізі стійкості системи по критерію Найквіста можна виділити три випадки:

- система в розімкненому стані стійка;

- система в розімкненому стані нейтральна;

- система в розімкненому стані нестійка.

1. Система в розімкненому стані стійка

Автоматична система керування стійка, якщо АФЧХ W(j) розімкненого контуру не охоплює точку з координатами (-1; j0).

На рисунку:

1 - стійка система;

2 - система на коливальній межі стійкості;

3 - нестійка система.

Поняття обхвату точки має деяку невизначеність, із-за чого у випадках складної форми кривої W(j) можуть виникати ускладнення в розсудках про стійкість системи. Тому застосовується наступний прийом. Треба в думках простежити за рухом вектора W₁(jw) = 1+W(jw), що обертається навколо точки (-1; j0) і що ковзає по кривій W(j). Кут повороту вектора W₁(j) рівний , означає обхват крапки (-1; j0), а кут менший , - не обхват.

Для вирішення питання про стійкість систем, АФЧХ складної конфігурації, у котрих крива АФЧХ перетинає дійсну вісь лівіше за крапку (-1; j0) кілька разів, можна використовувати правило переходів:

АФЧХ не охоплює крапку (-1; j0), тобто система стійка, якщо при зростанні  різниця між числом позитивних (зверху вниз) і негативних (від низу до верху) переходів АФЧХ через вісь абсцис зліва від крапки (-1; j0) дорівнює нулю.

2. Система в розімкненому стані нейтральна

Ц

Якщо система в розімкненому стані нейтральна, то для стійкості системи в замкнутому стані необхідно і достатньо щоб АФЧХ розімкненої системи W(j), разом з доповненням її дугою нескінченно-великого радіусу, що починається на позитивному напрямі дійсної осі, не охоплювала крапку з координатами (-1; j0).

е системи, що містять інтегруючі ланки в розімкненому контурі.

Приклади годографів Найквіста астатичних САУ

1. Стійка САР з астатизмом першого порядку.

2. Стійка САР з астатизмом другого порядку.

3. Стійка САР з астатизмом третього порядку.

4. Нестійка САР з консервативною ланкою.

5. Стійка САР з консервативною ланкою (корекція виконана фазообертаючою ланкою).

Фізичне трактування критерію Найквіста

Вводять два поняття:

- частота, при якій АЧХ A(w) = |W(jw)| = 1 частота зрізу w_ср;

- частота, при якій ФЧХ (w) = - p, позначають w_p.

Умова знаходження системи на межі стійкості: w_ср = w_p

На вході системи діє гармонічний сигнал g(t)=g_msinwt з малою амплітудою g_m. Хай частота  дорівнює частоті w_p при якій фазове зрушення (), створюваний ланкою W(j) рівний -p. Тоді сигнал негативного зворотного зв'язку опиниться у фазі з сигналом g(t), і миттєві значення сигналів підсумовуватимуться.

Якщо на частоті w = w_p модуль |W(jw_p)| = 1, тобто w_ср = w_p, то в контурі системи будуть незгасаючі коливання навіть після зникнення зовнішнього впливу g(t). Система знаходиться на межі стійкості, характеристика W(j) проходить через точку (-1; j0).

Якщо на частоті w = w_p модуль |W(jw_p)| < 1, то після зникнення зовнішнього впливу коливання в контурі затухнуть. Система стійка, характеристика не охоплює точку (-1; j0).

Якщо на частоті w = w_p модуль |W(jw_p)| >1, то амплітуда сигналів в контурі необмежено зростатиме. Система нестійка, характеристика W(j) охоплюватиме точку (-1; j0).

Особлива роль точки (-1; j0) – по-перше, в цій точці НЗЗ перетворюється на ПЗЗ; по-друге - є граничною між режимами ослаблення і посилення сигналів ланкою W(jw).

3. Система в розімкненому стані нестійка.

Автоматична система управління стійка якщо АФЧХ W(j) розімкненого контуру охоплює l/2– раз точку з координатами (-1; j0), де l - число правих коренів характеристичного рівняння розімкненого контуру.

Іншими словами, лівіше за точку (-1; j0) різниця між числом позитивних і числом негативних переходів АФЧХ через вісь абсцис повинно дорівнювати l/2.

Кількість обхватів при цьому можна визначати за вище розглянутим правилом, як різниця між числом позитивних і негативних переходів.

Логарифмічний критерій стійкості Найквіста

Система стійка, якщо при досягні ФЧХ значення -π ЛАЧХ буде негативною: w_ср < w_p - система стійка;

w_ср = w_p - система на межі стійкості;

w_ср > w_p - система нестійка.

Я

Система стійка, якщо різниця між позитивними і негативними переходами ФЧХ лінії (-p) у інтервалі частот від 0 до w_ср дорівнює нулю (ФЧХ повинна перетинати рівень (-p) у інтервалі частот від 0 до w_ср парне число разів).

кщо ФЧХ перетинає рівень(-p) кілька разів, то для визначення стійкості використовують правило переходів:

Якщо розімкнений ланцюг нестійкий і має l правих коренів, то використовують наступне формулювання логарифмічного критерію Найквіста:

Система стійка, якщо різниця між позитивними і негативними переходами ФЧХ лінії (-p) у інтервалі частот від 0 до w_ср дорівнює l/2.