16.1. Критерий Михайлова.

Для того чтобы установить, возможны ли в системе автоколебания вида с постоянной амплитудой и частотой , необходимо в характеристическое уравнение (16.19) подставить чисто мнимый корень :

(16.20)

и решить его относительно неизвестных и .

Решение уравнения (16.20) упрощается благодаря тому, что в левой части всегда могут быть выделены действительная и мнимая составляющие, которые порознь также равны нулю:

(16.21)

Одновременное выполнение равенств (16.21) соответствует прохождению характеристической кривой через начало координат.

Если уравнения (16.21) не имеют положительных действительных корней и , то автоколебания в системе невозможны.

После отыскания параметров и необходимо проверить, соответствуют ли они устойчивым автоколебаниям. Для этого используют следующее условие устойчивости автоколебаний:

(16.22)

где звездочка означает, что в частные производные, полученные из выражений (16.21), необходимо подставить найденные численные значения параметров и .

16.2. Критерий Найквиста

Если линейная часть описывается уравнением высокого порядка или содержит запаздывание, то аналитическое решение системы (16.21) затруднительно или невозможно. В этих случаях автоколебания можно отыскать при помощи критерия Найквиста.

Согласно критерия Найквиста, система находится на колебательной границе устойчивости, если АФХ разомкнутого контура проходит через точку . Следовательно, условием существования автоколебаний является равенство

(16.23)

или

(16.24)

Левая часть уравнения (16.24) представляет собой АФХ всех линейных звеньев системы, а правая - обратную характеристику нелинейного элемента, взятую с противоположным знаком.

Уравнение (16.24) удобно решать графически. Для этого необходимо построить указанные характеристики в одной системе координат (рис.16.3). В точках пересечения кривых выполняется равенство (16.24). Эти точки определяют параметры автоколебаний. Отметка текущей частоты на кривой определяет частоту автоколебаний , а отметка текущей амплитуды на кривой - амплитуду автоколебаний х_та.

Если характеристики не пересекаются, то автоколебания отсутствуют.

Факт устойчивости или неустойчивости найденного режима автоколебаний устанавливают при помощи следующего правила, если точка на кривой , близкая к точке пересечения, но сдвинутая в направлении возрастания параметра х_т, не охватывается характеристикой , то автоколебания устойчивы, если же охватывается, - то неустойчивы. На рис. точка М₂ соответствует устойчивым автоколебаниям, а точка М₁ - неустойчивым.

Рисунок 16.3. К определению автоколебаний по критерию Найквиста

16.3. Оценка абсолютной устойчивости с помощью критерия Попова

При решении практических задач анализа и синтеза нелинейных САУ часто возникает необходимость оценки устойчивости состояния равновесия и определения допустимых вариаций формы и параметров статической характеристики нелинейного элемента. Эти две задачи связаны с понятием и критерием абсолютной устойчивости нелинейной системы.

Пусть в контуре нелинейной САУ содержится нелинейный элемент с характеристикой , имеющей любую форму, но не выходящей за пределы определенного сектора [0,k_Н] (рис.16.4,а).

Состояние равновесия нелинейной системы называется абсолютно устойчивым, если оно асимптотически устойчиво при любой нелинейности, относящейся к определенному классу. Нелинейности считаются относящимися к одному классу, если их характеристики располагаются в секторе между осью абсцисс и прямой с угловым коэффициентомk_Н (см. рис.16.4,а).

Рисунок 16.4. Критерий оценки абсолютной устойчивости Попова

На первый взгляд, может показаться, что для оценки абсолютной устойчивости нелинейной системы, состоящей из линейной части с и нелинейности с, достаточно оценить устойчивость линейной системы с передаточной функцией.Однако это предположение выполняется только для некоторых частных видов , а в общем случае оно несправедливо и требуются специальные критерии.

Удобный критерий для суждения об абсолютной устойчивости нелинейных САУ предложил в 1959 г. румынский ученый В.Попов. Его критерий основан, как и критерий Найквиста, на использовании АФЧХ и имеет простую геометрическую трактовку.

В формулировке критерия используется понятие модифицированной АФЧХ. Пусть линейная часть устойчива и имеет следующую АФЧХ:

(16.25)

Образуем из этой обычной АФЧХ следующую видоизмененную АФЧХ:

(16.26)

у которой мнимая часть получена умножением , на ,где = 1 с - нормирующий множитель. Характеристика (16.26) и называется модифицированной.

Теперь можно следующим образом сформулировать критерий абсолютной устойчивости равновесия нелинейной САУ, которая состоит из линейной части с АФЧХ и нелинейного элемента с характеристикой , расположенной в секторе [0,k_Н]:

для абсолютной устойчивости равновесия достаточно, чтобы модифицированная характеристика не охватывала точку и через эту точку можно было провести прямую, не пересекающую характеристику (последняя лежит справа от прямой).

На рис.16.4,б, показан случай, когда критерий Попова выполняется, а на рис.16.4,в, г — случаи, когда не выполняется.

С помощью критерия Попова решают и обратную задачу, строят заданную характеристику , затем проводят как можно ближе к этой характеристике прямую так, чтобы получить наименьший отрезок , и таким образом находят допустимое значение углового коэффициента k_H.

По наклону прямой Попова, «прижатой» к кривой , можно судить о допустимом классе нелинейности: если прямая вертикальна, то нелинейность может быть только однозначной, а если она наклонена, то нелинейность может быть и однозначной, и неоднозначной (например, с гистерезисом).