22.4. Дискретная передаточная функция

Дискретной передаточной функцией называется отношение дискретно-преобразованных по Лапласу (z-изображений) выходной величины () ко входной величине() при нулевых начальных условиях.

Рассмотрим разомкнутую дискретную систему, изображенную на рис.22.6.

Рисунок 22.6. Разомкнутая дискретная система.

Определим выходную величину системы в дискретные моменты времени, совпадающие с моментами замыкания ключа. Выходная величина- есть реакция непрерывной части системыW(p) на последовательность δ-функций на ее входе.

На основании принципа суперпозиции выходную величину системы определяем как сумму реакций непрерывной части на каждый в отдельности импульс последовательности δ-функций:

,

где  - весовая функция непрерывной части системы.

Определим дискретное изображение по Лапласу или z-изображение от левой и правой частей последнего выражения:

;

.

На основании теоремы свертки получим:

или

здесь - дискретное преобразование Лапласа, преобразование от решетчатой весовой функции непрерывной части системы.

Откуда дискретная передаточная функция:

- в форме дискретного преобразования Лапласа

;

- в форме z-изображений

Как следует из выше изложенного, ДПФ определяется по весовой функции приведенной непрерывной части системы:

или .

В практических задачах удобнее определять дискретную передаточную функцию по передаточной функции непрерывной части, используя таблицы соответствия между обычным преобразованием Лапласа и дискретным или z-преобразованием для временных функций.

Порядок нахождения ДПФ разомкнутой системы следующий:

- передаточная функция непрерывной части системы представляется в виде суммы простейших передаточных функций

;

- по простейшей передаточной функции определяется из таблиц соответствий изображение или ;

- дискретная передаточная функция разомкнутой системы определяется по формуле

.

Если в типовой цепи после идеального импульсного элемента стоит фиксатор нулевого порядка, то ДПФ всей цепи может быть определена по формуле:

,

где - передаточная функция непрерывной части (без фиксатора).

При определении ДПФ необходимо учитывать следующую особенность дискретных систем:

если на входе непрерывной части имеется один общий импульсный элемент, то

.

В практических расчетах дискретных систем используют приближенные способы перехода от к ДПФ . Эти способы основаны на замене производной по времени, фигурирующей в уравнении непрерывной части, так называемой первой разностью:

.

Наиболее часто используемая формула приближенного перехода от передаточных функций непрерывной части (без учета фиксатора) к ДПФ:

.

Более точный переход от непрерывной системы к дискретной обеспечивает подстановка Тастина

.

При достаточно большой частоте дискретности, когда , где - полоса пропускания непрерывной части системы, приближенные способы перехода, основанные на приведенных выше заменах, дают результаты, близкие к точным ДПФ, а частотные свойства импульсной цепи эквивалентны свойствам непрерывной части с АФХ . Это условие эквивалентности обычно выполняется, если наибольшая постоянная времени непрерывной части больше периода квантованияТ.