24. Анализ устойчивости дискретных систем

24.1. Общее условие устойчивости дискретных систем

Устойчивость системы характеризуется ее свободным движением, которое определяется свободной составляющей процесса регулирования выходной величины. Линейная дискретная система называется устойчивой, если свободная составляющая процесса регулирования затухает с течением времени. Сформулированное условие устойчивости сводится к выполнению равенства:

(24.1)

для всех из интервала . Если хотя бы для одного значения

(24.2)

то дискретная система называется неустойчивой. Если, наконец,

(24.3)

или не существует, то дискретная система находится на границе устойчивости.

В подавляющем большинстве случаев величина предела при любом определяется его значением при . В тех случаях, когда при выполняется соотношение (24.1), а при - любое из соотношений (24.2), (24.3) говорят о так называемой высокочастотной неустойчивости дискретной системы.

Таким образом, чтобы оценить устойчивость дискретной системы, необходимо найти свободную составляющую процесса регулирования. Свободная составляющая процесса управления определяется решением однородного разностного уравнения замкнутой дискретной системы

, (24.4)

где m - порядок системы.

Решение однородного разностного уравнения при некратных корнях характеристического уравнения может быть записано следующим образом:

(24.5)

где - корни характеристического уравнения

(24.6)

- постоянные коэффициенты, значения которых зависят от свойств системы, характера внешнего воздействия и относительного времени .

Из решения (24.5) следует, что для устойчивости дискретной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения замкнутой системы (полюса передаточной функции замкнутой дискретной системы ) удовлетворялиусловию

; i = 1, 2, 3,…, m. (24.7)

Если хотя бы один корень , система будет неустойчивой. Значением какого-либо корняпри всех остальныхопределяется граница устойчивости дискретной системы.

Для устойчивости дискретной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения замкнутой системы находились внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат.

Графически область устойчивости дискретной системы на плоскости корней характеристического уравнения изображается единичным кругом.

Рисунок 24.1. Области устойчивости на плоскости

Таким образом, исследование устойчивости сводится к изучению расположения корней характеристического уравнения замкнутой дискретной системы относительно единичной окружности.

Для суждения об устойчивости дискретных систем можно использовать обычные критерии устойчивости линейных систем, но при этом приходится учитывать лишь некоторые особенности дискретных систем.

24.2. Критерий устойчивости Гурвица.

Для того чтобы применить критерий Гурвица, необходимо предварительно в характеристическом уравнении замкнутой дискретной системы

произвести замену переменной zна переменнуюwпутем подстановки

.

В результате подстановки получаем преобразованное характеристическое уравнение:

.

Исследование устойчивости по полученному преобразованному характеристическому уравнению производится в соответствии с критерием Гурвица для непрерывных систем.

24.3. Критерий устойчивости Михайлова.

Записывают характеристический полином замкнутой дискретной системы:

.

В полученном выражении выполняют замену:

Изменяя частоту от 0 дов комплексной плоскости строят годограф вектора - характеристическую кривую, кривую Михайлова.

Дискретная система устойчива, если при возрастании от 0 дохарактеристический вектор системыповернется против часовой стрелки на угол.

Если годограф характеристического вектора проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости.

Рисунок 24.2. Примеры годографов Михайлова дискретных систем

24.4. Критерий устойчивости Найквиста

Порядок исследования аналогичен, как и для непрерывных систем:

- по передаточной функции строится на комплексной плоскости АФЧХ разомкнутой системы;

- определяется число полюсов лежащих вне круга единичного радиуса (оно, как правило, совпадает с числом положительных полюсов передаточной функции непрерывной части);

- применяют критерий Найквиста в следующих формулировках:

1. Для того чтобы замкнутая дискретная система, непрерывная часть которой не имеет положительных полюсов была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой дискретной системы при возрастании частотыот 0 доне охватывала точку (-1;j0).

2. Чтобы замкнутая дискретная система, непрерывная часть которой имеет l положительных полюсов была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой дискретной системы при возрастании частотыот 0 доохватывала точку (-1;j0) l/2-раз.

3. Чтобы замкнутая дискретная система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 доразность между числом положительных и отрицательных переходов АФЧХ разомкнутой дискретной системыотрезка действительной осиравняласьl/2.

4. Чтобы замкнутая дискретная система, непрерывная часть которой нейтральна (имеет нулевые корни) была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой дискретной системы вместе с дополнением ее дугой бесконечно-большого радиуса начинающейся на положительном направлении действительной оси не охватывала точку (-1;j0).

Следует учитывать, что если АФЧХ начинается или заканчивается на отрезке , то считается, что кривая совершает половину перехода через отрезок действительной оси.