22.5. Особенности преобразования структурных схем дискретных систем

Для определения ДПФ замкнутой дискретной системы можно использовать правила структурных преобразований типовых соединений, сформулированные для непрерывных систем. Но при этом следует помнить, что:

- обычные правила структурных преобразований справедливы для дискретных систем, только если каждая ветвь типового соединения представляет собой типовую импульсную цепь, состоящую из идеального квантователя (на входе) и непрерывной части;

- при иной структуре цепи и всего типового соединения эквивалентная ДПФ определяется более сложными правилами.

Рассмотрим разомкнутую дискретную систему, схема которой приведена на рис.22.7.

Рисунок 22.7. Структурная схема разомкнутой дискретной системы

Запишем уравнение этой системы в форме изображений по Лапласу:

.

Переменная - решетчатая функция, поэтому в последнем выражении она представлена в виде дискретного изображения по Лапласу.

Произведение передаточных функций для краткости можно записать в виде

.

Представим переменную в форме дискретного изображения по Лапласу (илиz-изображения):

или

.

Знак дискретного преобразования Лапласа (z-преобразования) относится ко всему произведению .

Из полученных выражений можно определить ДПФ разомкнутой системы:

или .

Рассмотрим разомкнутую дискретную систему, схема которой приведена на рис.22.8.

Т

Т

H₁(p)

y(t)

W₁(p)

W₂(p)

H₂(p)

Рисунок 22.8. Структурная схема разомкнутой дискретной системы

Запишем уравнение этой системы в форме изображений по Лапласу:

;

.

Определим дискретное изображение по Лапласу сигналов и:

;

.

Решая совместно эти уравнения, получим:

.

Откуда определяются дискретные передаточные функции разомкнутой системы:

,

.

Таким образом, если разомкнутая система содержит несколько импульсных элементов, включенных между инерционными непрерывными элементами, то дискретная передаточная функция определяется как произведение дискретных передаточных функций участков цепи, заключенных между импульсными элементами.

Рассмотрим дискретную систему с единичной обратной связью, схема которой приведена на рис. 22.9.

Сначала рассмотрим случай, когда внешнее возмущение отсутствует, .

Рисунок 22.9. Структурная схема замкнутой дискретной системы

Запишем уравнения, описывающие поведение этой системы:

;

,

где - выходная координата системы в изображениях по Лапласу;

и - ошибка системы в изображениях по Лапласу обычном и дискретном до и после импульсного элемента соответственно;

Выразим переменные ив последнем уравнении в форме дискретного преобразования Лапласа:

откуда

.

Последнее уравнение для подставим в исходное уравнение для:

.

Найдем дискретное изображение по Лапласу для :

.

Определяем дискретные передаточные функции системы по управляющему воздействию и ошибке:

;

или в форме z-изображений:

; .

Отметим, что для дискретной системы понятия передаточной функции относительно ошибки, измеренной непосредственно после сумматора (до импульсного элемента) не существует.

Рассмотрим случай, когда возмущение приложено к непрерывной части системы. Пусть .

Определим уравнение, связывающее выходную координату системы с возмущением:

.

Найдем дискретное изображение по Лапласу для :

,

откуда

.

Из последнего выражения видно, что переменную нельзя вынести из-под знака дискретного преобразования Лапласа и, следовательно, нельзя получить дискретную передаточную функцию системы относительно возмущения.

Таким образом, для системы, у которой возмущение приложено к непрерывной части, понятия дискретной передаточной функции относительно возмущения не существует.