15.1.Нелинейное управление положением спутника

Рассмотрим жесткий спутник, изображенный на рис.15.5.

Рисунок 15.5. Нелинейная система – искусственный спутник Земли.

Предполагается, что спутник жесткий, трение отсутствует, и что он вращается относительно оси, перпендикулярной странице книги. Вращающий момент, прикладываемый к спутнику, создается двигателями. Например, если включены два двигателя, как показано на рис.15.5., это приводит к уменьшению угла . Если же включена другая пара двигателей, то уголимеет тенденцию к увеличению. Предполагается, что момент, создаваемый двигателями, является входом системы, а угол— ее выходом. Тогда:

поскольку трение о воздух отсутствует (J — момент инерции спутника). В этом случае передаточная функция равна

Это достаточно точная модель жесткого спутника, и она часто используется во многих примерах в силу ее простоты. Однако если к спутнику прикреплены солнечные панели, то допущение о его жесткости уже не действует (одни части спутника могут перемещаться относительно других частей), и модель получается более сложной.

Система управления спутником предназначена для поддержания его заданного углового положения путем включения двигателей, показанных на рисунке 15.5. Модель системы описывается уравнением

где  — момент, развиваемый двигателями, J— момент инерции спутника, а и можно рассматривать как нормированный момент. Модель спутника в фазовых переменных имеет вид:

Предполагается, что двигатели развивают постоянную тягу, т.е.

На рис.15.5 включению двигателей соответствует уменьшение угла , поэтому

Для двух других двигателей .

Модель спутника имеет вид

Сначала рассмотрим случай, когда . Уравнение фазовых траекторий в дифференциальной форме:

,

,

или

.

Проинтегрировав это уравнение, получим:

где С₁  ‑ постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий:

.

Таким образом, на плоскости (x₁, x₂) мы получили семейство парабол, изображенное на рис.15.6,а.

При решение уравнений состояния дает результат

С₂  ‑ постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий:

Фазовый портрет для данного случая приведен на рис.15.6,б.

а) б)

Рисунок 15.6. Фазовые портреты спутника при вращении в разные стороны

Рассмотрим замкнутую систему управления спутником, изображенную на рис.15.7.

Рисунок 15.7. Структурная схема замкнутой САУ спутником

Эта система с обратной связью предназначена для поддержания углового положения спутника . Если , то соответствующие двигатели включаются, стремясь вернуть угол к 0°.

Когда то и действительны траектории, изображенные на рис.15.6,а.

Если же то и действительны траектории, изображенные на рис.15.6,б.

Заметим, что переключение u(t) происходит при , поэтому линия(осьх₂) является линией переключения. Типичная траектория движения системы изображена на рис.15.8,а откуда следует, что в ней возникают незатухающие колебания. Фазовый портрет приведен на рис.15.8,б. Очевидно, что система управления с такой динамикой является неприемлемой.

Рисунок 15.8. Фазовая траектория (а) и фазовый портрет (б) замкнутой САУ

Для улучшения динамических свойств системы используется обратная связь по скорости, как показано на рис.15.9.

Рисунок 15.9. Система управления спутником с обратной связью по скорости

Информацию об угловой скорости спутника содержит выходной сигнал от датчика с коэффициентом усиления . Входной сигнал спутника по-прежнему принимает значения ±U, и траектории движения объекта на фазовой плоскости остаются параболами, как и в случае неуправляемого спутника.

Однако теперь иначе выглядят условия переключений u(t): они происходят, когда сигнал на входе реле равен нулю, т.е.

,

.

Это уравнение определяет линию переключения - прямую с наклоном

.

Типичная фазовая траектория в данном случае показана на рис.15.10,а.

Рисунок 15.10. Фазовые траектории системы управления спутником с обратной связью по скорости

Из рисунка 15.10 видно, что динамика системы значительно улучшилась; причиной этого является введение коррекции с опережением по фазе, аналогичной действию ПД-регулятора. Более того, точка равновесия в начале координат теперь является асимптотически устойчивой. В системах, содержащих идеальную релейную характеристику, может возникать особый вид движения, называемый «дребезгом». Условия возникновения такого режима работы проиллюстрированы на рис.15.10,б. Если наклон линии переключения является малым, то по мере приближения траектории к началу координат она всегда стремится пересечь линию переключения независимо от того, по какую сторону от нее находится. Это приводит к тому, что фазовая траектория «скользит» вдоль линии переключения к началу координат. Это явление известно под названием «скользящий режим».