25. Оценка качества дискретных систем

Качество дискретных систем управления характеризуется такими же показателями, как и качество непрерывных систем: точностью в установившихся режимах, длительностью и перерегулированием переходного процесса.

Длительность и перерегулированиеоценивают непосредственно по переходной характеристике. Переходная характеристика дискретной системы строится гораздо проще, чем для непрерывной системы. Для этого записывают z-изображение выходной величины при единичном ступенчатом воздействии

,

а затем по изображению находят оригинал – решетчатую функцию x(iT).

В простых случаях функцию x(iT)можно найти при помощи таблиц обратного z-преобразования, разложив предварительно изображениеX(z)на простые дроби.

В тех случаях, когда разложение на дроби связано с трудностями, целесообразно разложить функцию X(z)в степенной ряд по отрицательным степенямz(делением числителя на знаменатель):

Из определения z-преобразования вытекает, что коэффициенты степенного ряда по степеням z^-1представляют собой значения переходной характеристикиh(t)в дискретные моменты времениt = iT (i = 1; 2; 3;…), т.е.

…;…

Дискретные системы обладают специфической особенностью: переходные процессы в них могут заканчиваться за конечное число периодов Т, равное порядку системы n. Условием получения конечной длительности переходного процесса является равенство всех (кроме первого) коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы нулю:.

При этом характеристический полином системы имеет вид:

,

а изображение выходной величины оказывается конечным рядом отрицательных степеней z:

,

что соответствует переходному процессу с конечной длительностью .

При любом другом соотношении коэффициентов длительность переходного процесса больше . Поэтому процесс с конечной длительностью будет оптимальным по быстродействию.

Точность дискретной системы оценивают по установившемуся значению сигнала ошибки:

.

При ступенчатом воздействии установившаяся ошибка:

.

и называется статической ошибкой или ошибкой системы по положению.

При установившаяся ошибка называется ошибкой системы от скорости и определяется как

Если , то получаем ошибку системы от ускорения:

Из последних двух выражений следует, что установившаяся ошибка от задающего воздействия дискретных системы не только прямо пропорциональна величине задающего воздействия, но и периоду дискретности.

Дискретные системы классифицируются в соответствии с числом полюсов дискретной передаточной функции разомкнутой системы при. Если дискретная передаточная функция дискретной разомкнутой системы

а не содержит полюсов при , то при система называется статической, при - астатической первого порядка и т.д.

Для того чтобы дискретная система имела нулевую установившуюся ошибку от задающего воздействия, необходимо, чтобы степень астатизма системы превышала степень полинома входного воздействия , то есть:

, если ;

, если ;

, если ;

Отсюда видно, что при ступенчатом воздействии ошибка будет равна нулю, если передаточная функция разомкнутого контура имеет хотя бы один полюс, равный единице. Аналогично можно показать, что при линейном воздействии ошибка равна нулю, если не менее двух полюсов равны единице.

Коэффициенты ошибок. Если задающее воздействие имеет произвольный вид, предельное значение ошибки вычисляется по формуле

,

где , , , - коэффициенты ошибок по положению, скорости, ускорению.

Коэффициенты ошибок находят по дискретной передаточной функции замкнутой импульсной системы по ошибке

, для i = 0, 1, 2, …, k

Число коэффициентов находится в соответствии с наибольшей степенью полинома входного воздействия.

В астатических системах несколько первых коэффициентов ошибок равны нулю: , где -порядок астатизма.