21.5. Билинейное w-преобразование

Билинейное w-преобразование осуществляется путем замены переменной z и вz – изображениях или дискретных изображениях по Лапласу:

.

Если W(z) есть отношение двух полиномов от z, то W(w) также получится в виде отношения двух полиномов от w.

w-преобразование представляет собой отображение области внутри круга единичного радиуса плоскости z в левую полуплоскость плоскости w, обладающую теми же свойствами, что и левая полуплоскость плоскости р. Данная особенность w-преобразования позволяет применять в исследовании дискретных систем логарифмические частотные характеристики, алгебраические и частотные критерии устойчивости, в том виде, как они сформулированы для непрерывных систем.

21.6. Получение разностных уравнений

Разностные уравнения могут быть получены на основании физических соображений при описании динамики систем, или с помощью дискретных передаточных функций замкнутых систем и их звеньев.

В первом случае непрерывная функция, описывающая динамику системы, заменяется решетчатой, из которой и получают разностное уравнение.

Во втором случае общий алгоритм получения разностного уравнения следующий:

- записывается уравнение исследуемого канала САУ в дискретных изображениях ;

- из полученного уравнения определяется дискретная передаточная функция замкнутой САУ, и представляется в виде полиномов по отрицательным степеням

;

- осуществляется переход к разностному уравнению в изображениях

;

- к полученному уравнению применяется теорема смещения z-преобразования и получается разносное уравнение в рекуррентной форме.

22. Математическое описание дискретных систем

22.1. Расчетная модель дискретной системы

Любая дискретная система может быть приведена к схеме, состоящей из последовательно соединенных дискретного (импульсного) элемента ИЭ и непрерывной части НЧ системы (рис.22.1,а).

НЧ

y(t)

ИЭ

а)

б)

в)

Рисунок 22.1 – Эквивалентное представление дискретной системы

Математический аппарат для исследования дискретных систем предполагает, что выходной сигнал импульсного элемента представляет собой последовательность идеальных импульсов. Но реальный импульсный элемент формирует импульсы определенной длительности. Поэтому реальный импульсный элемент представляют эквивалентной схемой в виде последовательного соединения идеального импульсного элемента, имеющего на выходе последовательность идеальных импульсов, и формирующего звена ФЗ, преобразующего идеальные импульсы, в импульсы по всем характеристикам не отличающимися от импульсов на выходе реального импульсного элемента. Идеальный импульсный элемент на схемах изображается в виде ключа (рис.22.1,б).

Формирующее звено является линейным непрерывным элементом схемы, и его относят к непрерывной части (НЧ) системы и эту часть называют приведенной непрерывной частью системы (ПНЧ). Таким образом, расчетная модель дискретной системы в разомкнутом состоянии представляет собой схему, состоящую из последовательного соединения идеального импульсного элемента и приведенной непрерывной части системы (рис.22.1,в).