21.2. Дискретное преобразование Лапласа

Дискретное преобразование Лапласа определяется следующим соотношением:

а) для решетчатой функции

б) для смещенной решетчатой функции

где - оператор Лапласа;

- абсцисса абсолютной сходимости.

Для существования изображений по Лапласу ,необходимо, чтобы степенные ряды в выражениях для,сходились. Условием сходимости является.

Дискретное преобразование Лапласа содержит трансцендентный сомножитель , из-за которого изображения и соответствующие передаточные функции становятся иррациональными функциями аргументар, что создает определенные трудности при их использовании. Поэтому с целью получения передаточных функций дискретных систем в дробно-рациональной форме целесообразна определенная замена аргументов ().

21.3. Z-преобразование

Z-преобразование связано дискретным преобразованием Лапласа посредством подстановки .

Z-преобразованием решетчатой функции называется функция комплексного аргументаz, определяемая выражением

для смещенной решетчатой функции

Главное достоинство и удобство z-преобразования заключается в том, что сама запись z-изображения указывает простой способ выполнения прямого и обратного преобразования:

- чтобы по известной функции времени найти ееz-изображение, необходимо лишь каждое дискретное значение умножить на, а затем свернуть получившийся степенной ряд в конечную сумму;

- чтобы по известному изображению найти соответствующий сигнал, необходимо представить изображениев виде степенного ряда по убывающим степеням, получающиеся при этом числовые коэффициенты ряда и есть дискретные значениясигнала.

Основные свойства Z-преобразования

1. Свойство линейности

,

а – постоянный коэффициент.

Здесь и далее .

2. Теорема сдвига во временной области (теорема запаздывания и упреждения)

3. Теорема об умножении оригинала на экспоненту (теорема смещения в области изображений)

, ;

, ;

для смещенной решетчатой функции

, ;

4. Теорема об умножении оригинала на степенную функцию

.

5. Теорема о конечном значении оригинала

.

6. Теорема о начальном значении оригинала

.

7. Изображение разностей. На основании формул теоремы сдвига во временной области изображение первой разности имеет вид

Для k-той разности

, .

8. Изображение сумм.

Аналогами интеграла непрерывной функции в пределах от 0 до t для решетчатой являются неполная сумма и полная сумма:

,

Z – изображение неполной суммы

,

Z – изображение полной суммы

.

Для случая k-кратного суммирования

,

9. Свертка решетчатых функций.

Если и,

то

и .

21.4. Отображение p-плоскости на z-плоскость

Связь между комплексной переменной р и комплексной переменной z определяется соотношением , где.

Рассмотрим преобразование плоскости комплексной переменной р в плоскость комплексной переменной z.

Пусть . При измененииотдополучаем на плоскостир годограф, совпадающий с осью ординат. Определим, как этот годограф трансформируется на плоскости z. С этой целью зададимся некоторыми значениями частот:

, ,,,;, вычислим значенияz, нанесем их на плоскость z и сопоставим расположение соответствующих точек на плоскости р и на плоскости z.

1. ;;

2. ;;

3. ;;

4. ;;

5. ;;

Рисунок 21.4. Отображение плоскости р в плоскость z

Из рисунка видно, что участок мнимой оси плоскости р в интервале от доотображается на плоскостиz в окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Дальнейший анализ показывает, что участки мнимой оси плоскости р на интервалах до, отдои т.д., т.е. на интервалах, кратных, будут отображаться на плоскостиz в туже окружность единичного радиуса, причем, левая полуплоскость плоскости р будет отображаться на плоскости z во внутреннюю часть круга единичного радиуса.

Пусть , тогда= =; , так как всегда Т>0, то .