3.3. Задачи для самостоятельного решения

1. Решить системы методом Гаусса:

А); Б).

Ответ: A)(3;1;1); Б)(1;-1;0;2)

2. Решить системы матричным способом:

А) ; Б).

Ответ: A)(1;2;-2); Б)(2;-2;3)

3.Решить системы, используя правило Крамера:

А) ; Б)

Ответ: A)(3;4;5); Б)(;;).

4. При каких a и b система

имеет:

а) единственное решение;

б) не имеет решения;

в) бесчисленное множество решений.

Ответ: Если , то система имеет единственное решение.

Если - система решений не имеет.

Если - система имеет бесконечно много решений.

5. Составить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными, имеющую решение (1,-1, 3).Имеет ли полученная система и другие решения?

3.4. Варианты индивидуальных заданий

1. Решить систему линейных алгебраических уравнений А двумя способами: матричным методом и по правилу Крамера. Результаты сравнить.

2. Решить систему линейных алгебраических уравнений Б методом Гаусса.

3. При каких a и b система В имеет

а) единственное решение;

б) не имеет решения;

в) бесчисленное множество решений.

4. Составить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными, имеющую решение, указанное в таблице. Имеет ли полученная система другие решения?

Исходные данные:

Системы линейных уравнений				Набор
	А	Б	В	решений
Вариант 1				(-1,-1,3)
Вариант 2				(2,0,1)
Вариант 3				(1,2,3)
Вариант 4				(2,-1,2)
Вариант 5				(1,2,-2)
Вариант 6				(0,1,2)
Вариант 7				(-1,0,2)
Вариант 8				(4,2,1)
Вариант 9				(1,-2,4)
Вариант 10				(2,2,-3)
Вариант 11				(2,-4,1)
Вариант 12				(0,3,-1)
Вариант 13				(4,-1,-1)
Вариант 14				(2,0,-3)
Вариант 15				(2,3,4)

4. Векторы

4.1. Понятие вектора, основные операции

Понятие вектора введено для математического описания широкого класса физических величин, среди которых различают скалярные и векторные. Скалярные величины характеризуются числом, при выбранной единице измерения. Это, например, площадь, масса, работа, температура и другие. Для задания скорости, перемещения, силы нужно указывать ещё и направление.

Величины, характеризующиеся неотрицательным числом (модулем) при данной единице измерения и направлением, называют векторными. В геометрическом плане под вектором понимается направленный отрезок.

4.1.1.Способы задания векторов

Обозначим начальную точку или начало вектора буквой , его конечную точку иликонец,- точкой, тогда вектор обозначается символом .

Если начало и конец вектора совпадают, то он называется нулевым и иногда обозначается символом .

Векторы, на плоскости и в пространстве, характеризуются упорядоченными наборами чисел – координатами, которые представляют собой его проекции на выбранные оси координат.

Пусть дан вектор. На плоскости он описывается набором чисел ,гдеx, y являются его проекциями на оси координат ОХ ,OY, соответственно, а в пространстве,- набором . Длину илимодуль вектора в пространстве можно вычислить по формуле

. (1)

в случае плоскости третья координата равна нулю.

Если же вектор задан двумя точками: начальнойи конечной, то его координаты вычисляются по формуле.