7.1.2. Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром.

Пусть точка - центр, а точка, - произвольная точка окружности. Тогда

где R называется радиусом окружности, или в развернутом виде

. (4)

Уравнение (4) называется каноническим уравнением окружности.

Замечание. Если в уравнении (4) обозначить ,и разделить обе части на, получим уравнение . Т.о. окружность есть частный случай эллипса с равными полуосями.

7.1.3. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний от двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Пусть , - фокусы, расстояние,M – произвольная точка гиперболы. Тогда, согласно определения, имеем

, (5)

где а – заданная величина.

Введем систему координат, указанным ниже на рисунке способом.

тогда соотношение (5) после алгебраических преобразований и исключения иррациональности можно представить в виде:

(6)

которое и называется каноническим уравнением гиперболы. В данной системе координат и указанном уравнении (6) график гиперболы имеет вид:

Если же уравнение гиперболы имеет вид

(7)

то соответственно ее график имеет вид:

Параметры иназывают полуосями,- действительной,- явной. Параметр

(8)

называется эксцентриситетом. Он характеризует форму гиперболы.

Отметим некоторые свойства гиперболы.

1) Гипербола имеет, как минимум, две оси симметрии и центр симметрии.

Действительно, точка (0;0) при любом расположении графика гиперболы в канонической системе координат является центром симметрии. Роль осей симметрии играют оси ОХ и ОУ.

2) Гипербола пересекает одну из осей симметрии в двух точках, называемых вершинами, с другой же осью симметрии гипербола не пересекается.

Такие, на первом графике вершины гиперболы (6) расположены на оси ОХ, это точки и, на втором графике (7) - на осиОУ ,-это и.

3) Гипербола имеет асимптоты, то есть прямые, к которым гипербола неограниченно приближается, если точка, скользящая вдоль нее, уходит в бесконечность.

Для гиперболы с каноническим уравнением асимптоты описываются уравнениями

и . (9)

Для гиперболы, заданной уравнением асимптоты задаются прямыми

. (10)

Фокусы гиперболы (илидля ) расположены на одной оси с её вершинами. Здесь

. (11)

Оптическое свойство гиперболы. Луч, выходящий из одного из фокусов гиперболы, после своего отражения от кривой идет так, как - будто он вышел из второго фокуса.

7.1.4. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости равноудаленных от фиксированной точки, называемой фокусом, и данной прямой, которая называется директрисой.

Пусть прямая l, - директриса, - фокус и удалён от директрисы на расстояние p, а точка М, - произвольная точка параболы. Тогда

Выберем систему координат указанным ниже образом.

.

Тогда уравнение параболы, после исключения иррациональности примет вид

, (12)

которое и называется каноническим уравнением параболы. В данной системе координат и указанном уравнении (12) график параболы имеет вид:

Для найденного канонического уравнения параболы уравнение директрисы

, (13)

а фокус расположен в точке.

Отметим одно из свойств.

Парабола имеет одну ось симметрии.

В выбранной выше системе координат осью симметрии параболы является ОХ.

Замечание. 1. Если фокус имеет координаты ,а директриса описывается уравнением, то уравнение параболы принимает вид

. (14)

Если же фокус расположить на оси 0y, то уравнение примет вид

или , (15)

в зависимости от расположения директрисы (или, соответственно). Эти уравнения также называютсяканоническими. Отмеченные особенности позволяют однозначно определять расположение параболы и её характеристические признаки (координаты фокуса, уравнение директрисы).

Оптическое свойство параболы. Лучи, параллельные оси параболы, после отражения от кривой проходят через ее фокус.