6. 5. Варианты индивидуальных заданий

1. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки A, B и C, D . Проверить, будут ли эти прямые параллельны или перпендикулярны между собой.

2. Лежат ли прямые AB и CD в одной плоскости? Если да, то найдите угол между ними. Если нет, то определите кратчайшее расстояние между ними.

3. Найти точку D₁, симметричную точке D относительно прямой, проходящей через точки A и B. Чему равно расстояние от точки D до указанной прямой?

Варианты точек для заданий 1-3:

Вариант	Набор точек	Вариант	Набор точек
1		9
2		10
3		11
4		12
5		13
6		14
7		15
8

4. Написать канонические уравнения прямой, заданной в общем виде.

Вариант	Система	Вариант	Система
1		9
2		10
3		11
4		12
5		13
6		14
7		15
8

5. Найти точку пересечения прямой и плоскости

Вариант	Задание	Вариант	Задание
1		9
2		10
3		11
4		12
5		13
6		14
7		15
8

6. Найти точку , симметричную точкеотносительно прямой.

Вариант	Прямая и точка	Вариант	Прямая и точка
1		9
2		10
3		11
4		12
5		13
6		14
7		15
8

7. Кривые второго порядка

Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур.

Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планетыдвижутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться поокружностивокруг Земли, при увеличении этой скорости — поэллипсу, а по достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяженияЗемли.

7.1.Канонические формы уравнений

7.1.1. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Пусть F₁, F₂, - фокусы, где F₁F₂ = 2с, - межфокусное расстояние, а М – произвольная точка эллипса. Тогда

MF₁+MF₂=2a,

где a – заданная константа. Введем систему координат указанным ниже на рисунке образом.

Тогда в выбранной системе координат уравнение эллипса примет вид

, (1)

где ,. Это и естьканоническое уравнение эллипса.

Перечислим простейшие свойства эллипса.

1.Эллипс имеет как минимум две оси симметрии и центр симметрии.

Действительно в канонической системе координат оси ОХ и ОУ являются осями симметрии эллипса, а точка (0;0)- центром симметрии.

2.Эллипс пересекает оси симметрии в 4 точках.

В канонической системе координат точки пересечения эллипса с осями имеют координаты: ,,,. Данные точки называютсявершинами эллипса.

3. Эллипс является ограниченной фигурой, он размещается в прямоугольнике 2а на 2.

Параметры а и называют полуосями: а - большая полуось, а -меньшая. Полуоси равны половинам расстояний между соответствующими противоположными вершинами эллипса.

Форму эллипса характеризует параметр . Он описывает степень его сжатия или растяжения. Также, для этих целей используется параметр

, (2)

он называется эксцентриситетом эллипса.

Вернёмся к понятию фокусов эллипса. Как было отмечено выше, они расположены в точках F₁(-с;0), F₂(с;0), где

, (3)

или (если фокусы эллипса расположены наОУ)

Оптическое свойство эллипса. Луч, выходящий из одного из фокусов эллипса, после своего отражения от кривой, описывающей эллипс, проходит через второй фокус:

.

Замечание. При формулировании этого свойства естественно предполагается , что угол падения луча на кривую равен углу его отражения.