2.4. Двойной интеграл в полярной системе координат

Напомним связь между декартовыми и полярными координатами:

Вычислим якобиан для этого случая, полагая

.

Тогда формула (4) для вычисления двойного интеграла примет вид

(5)

О

Замечание 2. Из геометрического смысла якобиана следует, что площадь элементарной площадки в полярной системе координат вычисляется по формуле  элемент площади в полярной системе координат.

Пример 1. Вычислить двойной интеграл , пере-ходя к полярной системе координат, где область

у

а

-а О а х

Пример 2. Вычислить интеграл Пуассона .

Рассмотрим областьy

.

Перейдём к полярным

координатам.

Тогда О R x

.

Таким образом, интеграл Пуассона .

2.5. Приложения двойного интеграла

2.5.1. Площадь плоской области.

Если подынтегральная функция , то площадь областиD в ДСК равна или в полярной системе координат, что следует из определения двойного интеграла.

Пример 3. Найти площадь у

области

D

Изобразим данную О 2 х

область на рисунке и

вычислим ее площадь:

Пример 4*. Найти площадь у

фигуры, ограниченной линией

.

Изобразим данную область х

на рисунке.

Перейдём к полярной системе

координат

.

Из рисунка следует

Для вычисления этого интеграла воспользуемся заменой

	0
t	0	1

и формулой . Тогда имеем

. Лекция № 53

2.5.2. Объём тела.

Объём тела, ограниченного снизу поверхностью , сверху -, из геометрического смысла двойного интеграла вычисляется по формуле

.

Пример 1. Найти объём тела, z

ограниченного поверхностями

.

1 2 y

x

Этот результат легко проверить, если вычислить объём соответству-ющей пирамиды.

2.5.3. Площадь поверхности.

Пусть поверхность с площадью задана уравнением, а её проекцией на плоскостьОху является область D.

Как известно, нормальным вектором к поверхности будет вектор . Выделим на данной поверхности элемент, проекцией которого в областьD с точностью до б.м.в. более высокого порядка служит элемент .

z

y

x

Так как ,

то, интегрируя , находим.

Пример 2. Найти площадь поверхности сферы

Уравнение верхней половины сферы имеет вид . Тогда

и .

Областью интегрирования является круг .

2.5.4. Масса плоской фигуры.

Как было показано ранее, масса тела, в частности плоского, с плотностью вычисляется по формуле

.

Пример 3. Найти массу плоской фигуры с плотностью , заданной областью

В силу симметрии имеем

2.5.5. Центр масс (тяжести) плоского тела

Из механики известно, что координаты центра масс (тяжести) системы материальных точек определяются по формулам

. (1)

Разобьём данное плоское тело на п частей и выберем в каждой из этих частей произвольно точки . Тогда масса каждой части будет равна, где плотность плоского тела, и согласно формулам (1) получаем

Переходя в этих формулах к пределу при , имеем

(2)

Замечание. Если плоское тело однородное , то формулы (2) принимают вид

; . (3)

Пример 4. Найти центр тяжести однородной равнобедренной трапеции высотой h и основаниями 2а и 2b

Выберем систему координат как показано на рисунке.

Воспользуемся формулами (3) у

и проинтегрируем сначала

по х, а затем по у (почему?).

Составим уравнения сторон

трапеции, как уравнения прямых,

проходящих через две точки: -а О b a x

В силу симметрии координата . Так как площадь трапеции равна , то получим

.

2.5.6. Моменты инерции.

Аналогично можно получить формулы для нахождения моментов инерции плоской фигуры.

Для системы материальных точек моменты инерции относительно коор-динатных осей равны: ; , а относительно центра координат –.

Тогда, соответственно, если  плотность фигуры, то

Пример 5. Найти момент инерции однородного круга радиусом R относительно его центра, совпадающего с началом системы координат.