- •Курс лекций
- •2. Решение волнового уравнения методом Фурье
- •Кратные интегралы Лекция № 51. Тема 1: Определение кратного интеграла
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла
- •1.2. Определение кратного интеграла и его основные свойства
- •Тема 2: Двойной интеграл
- •2.1. Определение двойного интеграла
- •2.2. Вычисление двойного интеграла.
- •Лекция № 52
- •2.3. Замена переменных в двойном интеграле.
- •2.4. Двойной интеграл в полярной системе координат
- •2.5. Приложения двойного интеграла
- •. Лекция № 53
- •Лекция № 54. Тема 3 : Тройной интеграл
- •3.1. Определение и вычисление тройного интеграла
- •3.2. Замена переменных в тройном интеграле
- •3.3. Приложения тройного интеграла
- •Лекция № 55. Тема 4 : Криволинейные интегралы
- •4.1. Криволинейные интегралы первого рода или по длине дуги
- •4.2. Криволинейные интегралы второго рода или по координатам
- •Лекция № 56.
- •4.3. Формула Грина
- •4.4. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования
- •Тема 5 : Поверхностные интегралы
- •5.1. Поверхностные интегралы первого рода
- •5.2. Поверхностные интегралы второго рода
- •5.3. Приложения поверхностных интегралов
- •Лекция № 57. Тема 6 : Элементы теории поля
- •6.1. Понятие поля
- •6.2. Формула Гаусса Остроградского
- •6.3. Формула Стокса
- •Теория вероятностей Лекция № 58. Тема 1 : Общие понятия
- •1.1. Предмет теории вероятностей
- •1.2. Пространство элементарных событий
- •1.3. Операции над событиями
- •1.4. Статистический подход к понятию вероятности
- •Лекция № 59
- •1.5. Элементы комбинаторики
- •1. Перестановки.
- •2. Сочетания.
- •3. Размещения.
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Аксиоматическое определение вероятности
- •Лекция № 60. Тема 2 : Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1. Теорема умножения вероятностей
- •2.2. Теорема сложения вероятностей
- •2.3. Формула полной вероятности
- •2.4. Формула Бейеса
- •Лекция № 61. Тема 3 : Повторение испытаний
- •3.1. Независимые испытания. Формула Бернулли
- •3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •3.3. Интегральная теорема Лапласа
- •3.4. Теорема Пуассона
- •3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- •Лекция № 62. Тема 4 : Случайные величины и функции распределения
- •4.1. Случайные величины
- •4.2. Функция распределения вероятностей для дискретной св
- •4.3. Непрерывная св. Функция распределения
- •Лекция № 63. Тема 5 : Числовые характеристики св
- •5.1. Математическое ожидание св
- •5.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •5.3. Понятие о моментах св
- •Лекция № 64. Тема 6 : Основные законы распределения случайных величин
- •6.1. Дискретные законы распределения
- •6.1.1. Биномиальное распределение
- •6.1.2. Распределение Пуассона
- •6.1.3. Геометрическое распределение
- •6.2. Непрерывные законы распределения
- •6.2.1. Равномерное распределение
- •6.2.2. Показательное распределение
- •Лекция № 65
- •6.2.3. Нормальное распределение
- •Тема 7 : Закон больших чисел
- •Лекция № 66. Тема 8 : Многомерные случайные величины
- •8.1. Многомерные св и их функции распределения
- •8.2. Числовые характеристики двумерной случайной величины
- •Элементы математической статистики Лекция № 67. Введение
- •1. Предмет математической статистики
- •Тема 1: Статистические законы распределения выборки
- •1.1. Полигон и гистограмма
- •1.2. Эмпирическая функция распределения
- •Тема 2 : Статистические оценки параметров распределения
- •2.1. Точечные оценки
- •2.2. Интервальные оценки
- •Лекция № 68
- •Тема 3 : Проверка статистических гипотез. Критерий согласия Пирсона
- •Тема 4 : Элементы теории корреляции
- •4.1. Статистические зависимости
- •4.2. Линейная регрессия
- •4.3. Корреляционная таблица
- •4.4. Выборочный коэффициент корреляции
- •Теория функций комплексной переменной Лекция № 69. Определение функции комплексной переменной
- •1.1. Комплексные числа и действия над ними
- •1.2. Тригонометрическая и показательная формы записи
- •1.3. Определение функции комплексной переменной
- •Лекция № 70
- •1.3. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
- •Тема 2 : Ряды с комплексными членами
- •2.1. Числовые ряды
- •2.2. Степенные ряды
- •2.3. Основные элементарные функции комплексной переменной
- •Лекция № 71. Тема 3 : Производная функции комплексной переменной
- •3.1. Определение производной
- •3.2. Гармонические функции
- •Тема 4 : Интеграл от функции комплексной переменной
- •4.1. Определение интеграла
- •4.2. Основная теорема Коши
- •Лекция № 72
- •4.3. Интегральная формула Коши
- •4.4. Производные высших порядков от аналитической функции
- •4.5. Ряд Тейлора
- •. . . . .
- •4.6. Ряд Лорана
- •Лекция № 73
- •Тема 5 : Вычеты
- •5.1. Изолированные особые точки аналитической функции
- •5.2. Определение вычета
- •5.3. Основная теорема о вычетах
- •5.4. Приложение вычетов к вычислению интегралов
- •Операционное исчисление Лекция № 74. Тема 1 : Оригинал и изображение
- •1.1. Определение оригинала и изображения
- •1.2. Изображения некоторых функций
- •Тема 2 : Основные теоремы операционного исчисления
- •2.1. Теоремы подобия, запаздывания и смещения
- •Лекция № 75.
- •3.2. Приложение операционного исчисления к задачам техники
- •С о д е р ж а н и е
1.2. Эмпирическая функция распределения
Пусть известно статистическое распределение выборки. Введём обозна-чения: число вариант меньших x; n объём выборки.
Определение 5. Эмпирическая функция распределения определяется формулой .
В отличие от эмпирической функции распределения функциюназывают теоретической функцией распределения. При достаточно больших значенияхn эмпирическая функция близка к теоретической, что следует из теоремы
Теорема. иимеет место
Таким образом, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки (приближенного выражения) теоретической функции распреде-ления генеральной совокупности.
Пример 3. Построить эмпирическую функцию распределения по данному распределению выборки.
2 |
3 |
5 | |
5 |
20 |
25 |
Здесь п = 5 + 20 + 25 = 50, а
Тогда получим:
1. Если , то
2. Если , то
3. Если , то
4. Если , то
1
0,5
0,1
0 2 3 5 х
Тема 2 : Статистические оценки параметров распределения
2.1. Точечные оценки
Приближенные значения числовых параметров распределения называ-ются оценками. Различают точечные и интервальные оценки. Первые дают приближенные числовые значения изучаемого параметра , вторые – устанавливают вероятность покрытия этого параметра некоторым интер-валом, называемого доверительным.
К точечным оценкам параметров распределения случайной величины предъявляют следующие требования:
1. Состоятельности: Если точечная оценка параметра, то;
2. Несмещенности: , т.е. математическое ожидание оценкиравно оцениваемому параметру;
3. Эффективности: , т.е. дисперсия принимает минималь-ное значение.
Точечной оценкой для математического ожидания служит выборочное математическое ожидание:
, если все варианты различны,
а в противном случае .
Эта оценка удовлетворяет всем трём требованиям.
Точечной оценкой для дисперсии служит выборочная дисперсия
или .
Эта оценка является состоятельной и эффективной, но для нее, как можно показать, выполняется
,
т.е. данная оценка является смещенной.
Это можно устранить,если ввести исправленную дисперсию , которая будет удовлетворять всем трём требованиям.
2.2. Интервальные оценки
Пусть для некоторого числового параметра из опыта получена несмещённая оценка. Оценим возможную при этом ошибку. Зададим некоторую вероятность(доверительная вероятность илинадёжность) и найдём такое число (точность оценки), для которого выполняется
или . (1)
Равенство (1) нужно понимать так: вероятность того, что интервал (доверительный интервал) покрывает параметрравна.
Ограничимся нахождением доверительного интервала для математи-ческого ожидания нормального распределения для двух случаев:
1. Известно среднее квадратическое отклонение , тогда
или , (2)
где параметр t определяется по таблицам из условия
или .
Из оценки (2) можно сделать два вывода:
а) при возрастании объема выборки п величина убывает, следо-вательно, точность оценки увеличивается;
б) из увеличения надежности оценки следует увеличение параметраt и, соответственно, величины , следовательно, увеличение надежности уменьшает точность оценки.
Пример 4. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением =5. Найти доверитель-ный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а по выборочным средним , если объем выборкип = 100 при заданной надежности
Из соотношения по таблице находим параметрt = 1,96. Тогда точность оценки
Таким образом, доверительный интервал или
Например, если найденное выборочное среднее , то с веро-ятностьюматематическое ожидание случайной величиныХ попадает в доверительный интервал .
2. Среднее квадратическое отклонение неизвестно. Тогда
,
где s исправленное среднее квадратическое отклонение, а находится по таблицам критических значений так называемого распределения Стьюдента по значениямиn.
Пример 5. После проверки размера (в мм) выбранных 100 однотипных изделий получен вариационный ряд
15,7 |
15,8 |
15,9 |
16,0 |
16,1 |
16,2 | |
2 |
18 |
30 |
40 |
8 |
2 |
Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математичес-кого ожидания а при заданной надежности считая распреде-ление нормальным.
Найдем выборочное среднее и дисперсию
По таблице с учетом объема выборки п = 100 и заданной надеж-ности находим параметрt = 2,627. Тогда точность оценки
и доверительный интервал или