3.5. Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

Пусть производится п независимых испытаний с постоянной вероят-ностью р. Требуется найти вероятность того, что отклонение частоты отр по абсолютной величине не превосходит данного , т.е.

Преобразуем неравенство в скобках

и умножим полученное неравенство на

Полагая в формуле (3) и учитывая нечетность функции Лапласа, получаем

. (5)

Пример 6. Вероятность появления события А в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти число испытаний п, при котором с вероят-ностью 0,9876 можно ожидать, что

Подставим данные задачи в формулу (5)

По таблице значений функции Лапласа находим соответствующее значение аргумента

Лекция № 62. Тема 4 : Случайные величины и функции распределения

4.1. Случайные величины

Определение 1. Случайной величиной (СВ) называется величина Х, которая в результате опыта может принять то или иное значение, заранее неизвестно какое, т.е. , гдее  элементарное событие.

СВ бывают двух типов:

1. Дискретные – если возможные значения СВ (значения, которые она принимает) могут быть перечислены. Например, число попаданий в мишень при п выстрелах, число вызовов на АТС и т.д.

2. Непрерывные – если возможные значения СВ непрерывно заполняют некоторый промежуток. Например, расстояние от точки попадания до центра мишени, время безотказной работы блока устройства.

Для того, чтобы задать СВ, необходимо знать её возможные значения и как часто она их принимает, т.е. с какой вероятностью. Для дискретных СВ закон распределения обычно задается в виде таблицы

X			…		…
P			…		…

Замечание. Так как события образуют полную группу событий, то.

Рассмотрим примеры наиболее распространённых дискретных СВ.

1. Биномиальное распределение.

X	0	1	…	k	…	n
p			…		…

2. Распределение Пуассона.

X	0	1	…	n	…
p			…		…

Пример 1. Монета брошена три раза. Построить закон распределения СВ – число появлений герба.

Здесь . По формуле Бернулли вычислим соответст-вующие вероятности:

Проверим .

Получили закон распределения

X	0	1	2	3
p

4.2. Функция распределения вероятностей для дискретной св

Для количественной характеристики распределения вероятностей удобно пользоваться не вероятностью события , а вероятностью события.

Определение 2. Функция называется функцией распределения вероятностей случайной величиныХ или интегральной функцией распределения.

Геометрически это означает, что  вероятность того, что СВ примет значение, лежащее левее х.

Пример 2. Построить функцию распределения вероятностей для примера1.

1. , для таких значений.

2. , для таких значений.

3. , для таких значений.

4. , для таких значений.

5. , для таких значений.

1

0,5

0 1 2 3 4 х

Из определения функции распределения следуют её свойства:

1.

2. - неубывающая функция.

3. .

4. Вероятность того, что СВ примет значение, заключенное в интер-вале , равно.

Рассмотрим события , тогда. Так как А и С несовместные события, то . Тогда учитывая, что , получим.

5. имеет разрывы первого рода во всех точках, соответству-ющих возможным значениям СВ, а величина скачка равна

.