2.2. Вычисление двойного интеграла.

Определение 2. Правильной в направлении оси Oу областью D называется область, удовлетворяющая следующим условиям:

1. Верхняя и нижняя её границы описываются уравнениями исоответственно;

2. Прямые пересекают её верхнюю и нижнюю границы не более чем в двух точках.

Аналогично определяется правильная область в направлении осиOx.

Формулу для вычисления двойного интеграла выведем, исходя из его геометрического смысла.

Пусть областьD является правильной областью. Пересечем цилинд-рическое тело с нижним основанием – областью D, а верхним – поверх-ностью , плоскостямиx и :

z

y

O x

a x b

Фиксируя x, вычислим интеграл , значение которого

равно площади криволинейной трапеции, полученной в сечении плоскостью . Если это выражение умножить наи проинтегрировать отa до b, то из рисунка следует, что

,

где V  объём данной цилиндрической области.

Таким образом, получаем формулу для вычисления двойного интеграла

(5)

Замечание 3. Если область правильная в направлении оси Ox, то

(6)

у

d

c

O x

Замечание 4. Если область неправильная, то её прямыми разбивают на несколько правильных областей. Тогда двойной интеграл по такой области равен сумме двойных интегралов по полученным правильным областям.

Пример. Вычислить интеграл по области

Изобразим данную область на рисунке.

у

D

O 1 x

Для такой области более удобно для вычисления двойного интеграла использовать формулу (6) (почему?)

Лекция № 52

2.3. Замена переменных в двойном интеграле.

Пусть координаты х и у являются функциями новых переменных и и v:

(1)

где иоднозначные и непрерывные функции вместе со своими производными в некоторой области. По формуле (1) каждой точке соответствует единственная точка.

Верно и обратное.

Таким образом, между областямиD иустановлено взаимно одно-значное соответствие. Каждой линии видасоответствуют некоторые кривые в плоскостиOxy, а прямоугольной площадке  криволинейная площадка в областиD.

v y

M

v

D

u x

O u O

Рассмотрим интегральную сумму от функции в области

(2)

В формуле (2), чтобы получить интегральную сумму по области , необходимо выразитьчерез. Если вычислятькак площадь параллелограмма, то с точностью до б.м.в. более высокого порядка можно получить равенство, где определительназывается якобианом. Тогда равенство (2) принимает вид

. (3)

Переходя к пределу при в интегральных суммах (3), получаем

. (4)

Формула (4) представляет собой формулу замены переменных в двой-ном интеграле.

Замечание 1. Так как , то якобиан представ-ляет собой коэффициент изменения площади элементарной площадки.