Кратные интегралы Лекция № 51. Тема 1: Определение кратного интеграла

1.1. Задачи, приводящие к понятию кратного интеграла

Задача 1. Определение массы тела.

Рассмотрим тело, которое занимает пространственную область , с плотностью, где точка. Найдём его массу. Если. В нашем случае разобьём тело на части с объёмами:. Внутри каждой части произвольно выберем точкуи определим значение. Если части разбиения достаточно малы, то, а вся масса

. (1)

При этом, чем меньше , тем равенство (1) точнее. Если ввести понятиедиаметра области - наибольшее расстояние между двумя точками её границы, то из формулы (1) путём предельного перехода получим точное значение массы тела

.

Например, если область является круг, то диаметр этого круга; если  прямоугольный параллелепипед, то его диагональ.

Задача 2. Определение заряда тела.

Рассуждая аналогично, можно показать, что если в теле распределен заряд плотностью, то суммарная величина заряда вычисляется по формуле

.

1.2. Определение кратного интеграла и его основные свойства

Пусть в пространстве любого числа измерений т задана область , в каждой точке которойопределена функция. Разобьём областьнап подобластей с мерами (длина, площадь, объём и т.д.): . Внутри каждой из них произвольно выберем точки:и составим сумму вида

(2)

которая называется интегральной суммой для функции по области.

Определение 1. Если существует предел интегральной суммы (2) и он не зависит от способа разбиения области на подобластии выбора точек, то значение этого предела называется кратным интегралом от функциипо областии обозначается

Замечание 1. Легко проверить, что определение определённого интеграла является частным случаем кратного интеграла, если в качестве области рассмотреть отрезок числовой оси, на котором задана функция одной переменной. Из этого факта следует:

Теорема существования кратного интеграла. Если непрерывна в замкнутой области, то она интегрируема в этой области.

Основные свойства кратных интегралов:

1. Свойство линейности. Если

.

2. Свойство аддитивности. Если и

.

3.  мера области.

4. Если .

Отсюда, если то

5. Теорема об оценке интеграла.

Если .

6. Теорема о среднем значении.

Существует такая точка , для которой выполняется

.

Тема 2: Двойной интеграл

2.1. Определение двойного интеграла

Если в определении кратного интеграла в качестве области взять плоскую областьD, в которой определена функция двух переменных , то получим определение двойного интеграла:

(3)

где  площадь участка разбиения областиD.

Для выяснения геометрического смысла двойного интеграла изобразим поверхностьв областиD.

z

O y

x

Из интегральной суммы (3) и приведенного рисунка следует, что если V  объём цилиндрического тела, ограниченного снизу областью D, а сверху – поверхностью , то.

Переходя к пределу при , получим

. (4)

Таким образом, геометрический смысл двойного интеграла – объём цилиндрического тела, ограниченного снизу областью D, а сверху – поверхностью .

Замечание 2. Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам кратного интеграла.