4.3. Непрерывная св. Функция распределения
и плотность распределения вероятностей
Функция распределения
вероятностей непрерывной СВ определяется
аналогично как и для дискретной
.
В этом случае
является непрерывной функцией и обладает
свойствами1-4.
Однако, если
непрерывная, то вероятность любого
определённого значения непрерывной
СВ равна нулю, так как
Для локальной характеристики непрерывной СВ вводится понятие плотности распределения вероятностей.
Пусть имеется
непрерывная случайная величина Х
с функцией распре-деления
.
Вычислим вероятность попадания этой
СВ в интервал
.
По свойству4,
получаем
.
Рассмотрим отношение
,
т.е. “среднюю“ вероятность и устремим
.
Определение 3.
Плотностью распределения вероятностей
или диффе-ренциальной функцией
распределения называется функция
.
Из этого определения следуют её свойства:
1.
,
как производная от неубывающей
функции.
2.
Вероятность попадания СВ в интервал
равна
так как
вероятность попадания СВ в интервал
длины
3.
,
так как
4.
,
что следует из свойства3
и того, что
Пример 3.
Найти интегральную функцию по заданной
дифференциаль-ной и вероятность
попадания СВ в интервал
,
если
Найдём значение параметра а из свойства 4 дифференциальной функции
или
а по свойству 3 находим интегральную функцию
Вероятность попадания в заданный интервал можно определить по формулам из свойства 4 интегральной функции или из свойства 2 дифференциальной функции. Воспользуемся формулой
.
Приведём графики дифференциальной и интегральной функций.
3
1
0 1 х 0 1 х
Лекция № 63. Тема 5 : Числовые характеристики св
5.1. Математическое ожидание св
Часто на практике закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться неполными сведениями о СВ. Тогда полезно использовать некоторые параметры, которые суммарно описывают СВ. Такие параметры называются числовыми характеристиками. К их числу, в частности, относится математическое ожидание.
5.1.1. Рассмотрим случай дискретной СВ.
|
X |
|
|
… |
|
|
p |
|
|
… |
|
Обозначим её среднее значение через М(Х), тогда
,
так как
.
Определение 1. Математическим ожиданием дискретной СВ называ-ется величина
.
(1)
Замечание. Если число возможных значений дискретной СВ беско-нечно, то
,
при условии сходимости ряда.
Из определения математического ожидания следуют его свойства:
1. Если
.
2. Если
.
3.
.
Действительно, рассмотрим две СВ с законами распределения
|
X |
|
|
… |
|
p |
|
|
… |
|
Y |
|
|
… |
|
q |
|
|
… |
Тогда СВ
принимает возможные значения
с вероят-ностью
и тогда
.
4. Если Х
и Y
независимые СВ, то
.
Так как
,
то
.
Следствие.
.
Пример 1. Найти математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.
Пусть Х и Y СВ выпадения очков на двух костях соответственно:
|
X |
1 |
… |
6 |
|
p |
|
… |
|
|
Y |
1 |
… |
6 |
|
p |
|
… |
|
Тогда
.
5.1.2. Для непрерывной
СВ выражение
представляет собой среднее значение
этой СВ на интервале длиной
и тогда её среднее значение
.
(2)
Замечание. Математическое ожидание непрерывной СВ имеет анало-гичные свойства.